2.2 知识点复习

2.2.1 大O和小o

重要概念回顾 以下设$f:E\to {\mathbb{R}}^m$，$g:E\to {\mathbb{R}}^m$，$\mathit{x}\in E$。

(1)

$\mathcal{O}$：称$f=\mathcal{O}(g)$，若$\mathrm{\exists }M>0$，$\mathrm{\exists }\delta >0$，使得$\parallel \mathit{x}\parallel <\delta ⟹\parallel f(\mathit{x})\parallel \le M\parallel g(\mathit{x})\parallel$。

(2)

同阶：称$f$与$g$同阶，若$f=\mathcal{O}(g)$且$g=\mathcal{O}(f)$。

(3)

$o$：称$f=o(g)$，若$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }\delta >0$，使得$\parallel \mathit{x}\parallel <\delta ⟹\parallel f(\mathit{x})\parallel \le \epsilon \parallel g(\mathit{x})\parallel$。

(4)

等价：称$f\sim g$，若$f=g+o(g)$。

重要定理回顾 设$f,g:E\to {\mathbb{R}}^m$，则$f=\mathcal{O}(g)$等价于$f_k=\mathcal{O}(g_k),(\mathrm{\forall }k)$，其中$f_k,g_k$是$f,g$的第$k$个分量。

应用 以下设$\mathit{x}\to \mathbf{0}$。

(1)

线性映射：$A\mathit{x}=\mathcal{O}(\mathit{x})$。

(2)

二次型：$⟨A\mathit{x},\mathit{x}⟩=\mathcal{O}(\parallel \mathit{x}{\parallel }^2)$。

注 多元多项式的阶不能简单地认为是单项式的最高次幂，如$xy=\mathcal{O}(x^2+y^2)$，但反过来不成立。因此多元微积分中没有阶的概念，只有同阶，如$x^2+y^2$与$2x^2+3y^2$同阶。

阶的概念实际上是这么引入的：我们想研究一元函数$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$在一点$x_0$附近的行为，可以用单项式$(x-x_0{)}^n$来近似，近似效果最好的单项式的次数$n$就是$f$的阶，如图2.2.1(a)所示。如果$n$为整数，这就是Taylor展开的主项次数。

但在多元微积分中，函数$f:{\mathbb{R}}^m\to \mathbb{R}$在${\mathit{x}}_0$附近的行为无法完全用$\parallel \mathit{x}-{\mathit{x}}_0{\parallel }^n$来近似，如图2.2.1(b)所示。如果一定要用多项式来近似的话，可以用多元Taylor展开的思想，写成$\sum _{i_{!},i_2,\cdots ,i_n}{a}_{i_1,i_2,\cdots ,i_n}(x_1-x_{01}{)}^{i_1}(x_2-x_{02}{)}^{i_2}\cdots (x_n-x_{0n}{)}^{i_n}$。

(a) $f(x)=x\sin x$在$0$附近的行为

(b) $f(x,y)=xy$在$(0,0)$附近的行为

2.2.2 可导与可微

重要概念回顾

(1)

可导（可微）：称$f:E\to {\mathbb{R}}^p$在${\mathit{x}}_0$处可导（可微），若存在线性映射$A:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^p$使得$f({\mathit{x}}_0+\mathit{h})=f({\mathit{x}}_0)+A\mathit{h}+o(\mathit{h})$。记$A=:\partial f({\mathit{x}}_0)$。若$p=1$，则通常记为$\mathrm{d}f({\mathit{x}}_0)$。

(2)

沿向量的导数：$f:E\to {\mathbb{R}}^p$沿$\mathit{v}$的导数为$\frac{\partial f}{\partial \mathit{v}}({\mathit{x}}_0):=\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{f({\mathit{x}}_0+t\mathit{v})-f({\mathit{x}}_0)}{t}$。若$\parallel \mathit{v}\parallel =1$，则称为方向导数。

重要定理回顾

(1)

如果$f$在${\mathit{x}}_0$处可微，则$f$在任意方向的方向导数都存在，且成立$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{\partial f}{\partial \mathit{v}}({\mathit{x}}_0)=\partial f({\mathit{x}}_0)(\mathit{v})\end{array}$$

(2)

链式法则：设$F:E\to {\mathbb{R}}^p$、$G:{\mathbb{R}}^p\to {\mathbb{R}}^q$，$F$在${\mathit{x}}_0$处可微，$G$在${\mathit{y}}_0=F({\mathit{x}}_0)$处可微，则$G\circ F$在${\mathit{x}}_0$处可微，且成立$$\begin{array}{}\text{(2)}& \partial (G\circ F)({\mathit{x}}_0)=\partial G({\mathit{y}}_0)\circ \partial F({\mathit{x}}_0)\end{array}$$

(3)

Leibniz公式：$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}\mathrm{d}(f(\mathit{x})g(\mathit{x}))& =f(\mathit{x})\mathrm{d}g(\mathit{x})+g(\mathit{x})\mathrm{d}f(\mathit{x})\\ \mathrm{d}(\mathit{f}(\mathit{x})\cdot \mathit{g}(\mathit{x}))(\mathit{v})& =\mathit{f}(\mathit{x})\cdot \partial \mathit{g}(\mathit{x})(\mathit{v})+\mathit{g}(\mathit{x})\cdot \partial \mathit{f}(\mathit{x})(\mathit{v})\end{array}\end{array}$$

应用

(1)

常映射、线性映射均为可微函数。

(2)

内积：设$f(\mathit{x})=⟨A\mathit{x},\mathit{x}⟩$，则$\partial f({\mathit{x}}_0)={\mathit{x}}_0^{\mathrm{T}}(A+A^{\mathrm{T}})$。

(3)

方阵：设$f(A)=A^{-1}$，则$\partial f(A)(B)=-A^{-1}B{A}^{-1}$。

(4)

复合内积：设$F,G$在${\mathit{x}}_0$处可微，则$H(\mathit{x}):=⟨F(\mathit{x}),G(\mathit{x})⟩$在${\mathit{x}}_0$处可微，且$$\begin{array}{}\text{(4)}& \partial H({\mathit{x}}_0)(\mathit{v})=⟨\partial F({\mathit{x}}_0)(\mathit{v}),G({\mathit{x}}_0)⟩+⟨F({\mathit{x}}_0),\partial G({\mathit{x}}_0)(\mathit{v})⟩\end{array}$$

(5)

行列式：$\partial det(A)(B)=\mathrm{tr}(A^{\ast \mathrm{T}}B)$。

注

(1)

微分是线性映射，导数相当于线性映射的矩阵表示。

(2)

以上定义与一元微积分相容。$f^{\prime }(x_0)$相当于一个等比例函数（也是线性映射），$\partial f({\mathit{x}}_0)$相当于一个矩阵。

(3)

设$f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^m$表示$m$维空间中的位矢，则$\partial f(t)$表示速度。

(4)

在方向导数的定义中一定要注意$t\to 0^{+}$，$t\to 0^{-}$表示的是相反方向的方向导数。

(5)

设$\mathit{v}=\parallel \mathit{v}\parallel \mathit{u}$，则$\frac{\partial }{\partial \mathit{v}}=\parallel \mathit{v}\parallel \frac{\partial }{\partial \mathit{u}}$。

(6)

如果$f$在任意方向的方向导数都存在，$f$甚至可以不连续，如$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\arctan \frac{y}{x}$（补充定义$f(0,0)=0$）。

(7)

导数和方向导数的几何意义如图2.2.2所示。

(a) 导数的几何意义

(b) 方向导数的几何意义

2.2.3 偏导数

重要概念回顾

(1)

偏导数：设$f:E\to {\mathbb{R}}^p$，$\{{\mathit{v}}_1,\cdots ,{\mathit{v}}_m\}$是${\mathbb{R}}^m$的一组基，对应的坐标向量为$(x_1,\cdots ,x_m{)}^{\mathrm{T}}$，则$f$在${\mathit{x}}_0$处的偏导数为$$\begin{array}{}\text{(5)}& \frac{\partial f}{\partial x_i}({\mathit{x}}_0)=\underset{t\to 0}{lim}\frac{f({\mathit{x}}_0+t{\mathit{v}}_i)-f({\mathit{x}}_0)}{t}\end{array}$$ 通常选择标准正交基$\{{\mathit{e}}_1,\cdots ,{\mathit{e}}_m\}$。

(2)

Jacobi矩阵：设$f:E\to {\mathbb{R}}^p$，则$f$在${\mathit{x}}_0$处的Jacobi矩阵为$$\begin{array}{}\text{(6)}& \partial f({\mathit{x}}_0)=\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}({\mathit{x}}_0)& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}({\mathit{x}}_0)& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_m}({\mathit{x}}_0)\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}({\mathit{x}}_0)& \frac{\partial f_2}{\partial x_2}({\mathit{x}}_0)& \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_m}({\mathit{x}}_0)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_p}{\partial x_1}({\mathit{x}}_0)& \frac{\partial f_p}{\partial x_2}({\mathit{x}}_0)& \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_m}({\mathit{x}}_0)\end{array}\right)=:\mathrm{J}f({\mathit{x}}_0)\end{array}$$

重要定理回顾

(1)

全微分：设$f:{\mathbb{R}}^m\to \mathbb{R}$，$\{{\mathit{v}}_1,\cdots ,{\mathit{v}}_m\}$是${\mathbb{R}}^m$的一组基，对应的坐标向量为$(x_1,\cdots ,x_m{)}^{\mathrm{T}}$，$\mathrm{d}{x}_i:\mathit{x}\mapsto x_i$是坐标映射函数，则$f$在${\mathit{x}}_0$处微分为$$\begin{array}{}\text{(7)}& \mathrm{d}f({\mathit{x}}_0)=\sum _{i=1}^m\frac{\partial f}{\partial x_i}({\mathit{x}}_0)\mathrm{d}{x}_i\end{array}$$ 此时的微分又称为全微分，此定理又称一阶微分的形式不变性。

(2)

链式法则：$$\begin{array}{}\text{(8)}& \partial (G\circ F)({\mathit{x}}_0)=\partial G(F({\mathit{x}}_0))\circ \partial F({\mathit{x}}_0)\end{array}$$ 等价于$$\begin{array}{}\text{(9)}& \mathrm{J}(G\circ F)({\mathit{x}}_0)=\mathrm{J}G(F({\mathit{x}}_0))\cdot \mathrm{J}F({\mathit{x}}_0)\end{array}$$ 设$$\begin{array}{}\text{(10)}& \left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)=F(x_1,\cdots ,x_m),\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ ⋮\\ z_l\end{array}\right)=G(y_1,\cdots ,y_n)\end{array}$$ 则$$\begin{array}{}\text{(11)}& \frac{\partial z_i}{\partial x_j}=\sum _{k=1}^n\frac{\partial z_i}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial x_j},\mathrm{\forall }i,j\end{array}$$

(3)

$f$可微$⟹f$连续，$f$可微$⟹f$的所有偏导数存在。

(4)

如果$f$的所有偏导数在$U$上都连续，则$f$在$U$上可微。条件可放宽为：至多有1个偏导数存在。

应用 正交坐标系（直角坐标系、极/柱坐标系、球坐标系）变换的Jacobi矩阵。

注

(1)

导数是函数本身的性质，不依赖于坐标系的选取。链式法则是复合函数导数的计算方法。

(2)

Jacobi矩阵（偏导数）是导数在特定坐标系下的矩阵表示，依赖于坐标系的选取。链式法则可以转换为Jacobi矩阵的乘法。

(3)

全微分是特定映射（即陪域为$\mathbb{R}$，多元函数）的微分，描述了微分（线性函数）与坐标映射函数的关系。

(4)

容易证明：在${\mathbb{R}}^m$的任意基底下，Jacobi矩阵（全微分）的形式保持不变。

(5)

偏导数的符号常常让人困惑，例如：设$f(x,y)=x+y$，则$\frac{\partial f}{\partial x}(x,x)$究竟是$1$还是$2$？我个人倾向于$1$，$\frac{\partial f}{\partial x}$表示的是$f$对第一个变量求偏导后的函数，随后代入这个函数在$(x,x)$处的值。对于另一种答案，我会用$\frac{\partial }{\partial x}f(x,x),\frac{\partial f(x,x)}{\partial x}$来表示。有时候为了避免歧义，会使用${\partial }_{1}f$来表示对第一个变量求偏导。

2.2.4 梯度

重要概念回顾 设$f:E\to \mathbb{R}$，则$f$在${\mathit{x}}_0$处的梯度为$$\begin{array}{}\text{(12)}& \mathrm{\nabla }f({\mathit{x}}_0)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x_1}({\mathit{x}}_0)\\ ⋮\\ \frac{\partial f}{\partial x_m}({\mathit{x}}_0)\end{array}\right),\mathrm{\nabla }=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x_1}\\ ⋮\\ \frac{\partial }{\partial x_m}\end{array}\right)\end{array}$$

重要定理回顾

(1)

Riesz表示定理：设$E$是有限维实内积空间，$f:E\to \mathbb{R}$连续线性泛函，则存在唯一的$\mathit{a}\in E$使得$f(\mathit{x})=⟨\mathit{a},\mathit{x}⟩$。

(2)

梯度与微分、方向导数的关系：$$\begin{array}{}\text{(13)}& \frac{\partial f}{\partial \mathit{v}}({\mathit{x}}_0)=\mathrm{d}f({\mathit{x}}_0)(\mathit{v})=⟨\mathrm{\nabla }f({\mathit{x}}_0),\mathit{v}⟩\end{array}$$

(3)

$\mathrm{\nabla }(f\circ G)(\mathit{x})=(\mathrm{J}G(\mathit{x}){)}^{\mathrm{T}}\mathrm{\nabla }f(G(\mathit{x}))$。

(4)

Leibniz公式：$$\begin{array}{}\text{(14)}& \begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }(f(\mathit{x})g(\mathit{x}))& =f(\mathit{x})\mathrm{\nabla }g(\mathit{x})+g(\mathit{x})\mathrm{\nabla }f(\mathit{x})\\ \mathrm{\nabla }(\mathit{f}(\mathit{x})\cdot \mathit{g}(\mathit{x}))& =(\mathrm{J}\mathit{g}(\mathit{x}){)}^{\mathrm{T}}\mathit{f}(\mathit{x})+(\mathrm{J}\mathit{f}(\mathit{x}){)}^{\mathrm{T}}\mathit{g}(\mathit{x})\end{array}\end{array}$$

应用

(1)

内积：设$f(\mathit{x})=⟨A\mathit{x},\mathit{x}⟩$，则$\mathrm{\nabla }f({\mathit{x}}_0)=(A+A^{\mathrm{T}}){\mathit{x}}_0$。

(2)

行列式：$\mathrm{\nabla }det(A)=A^{\ast }$，矩阵内积的定义为$⟨A,B⟩=\mathrm{tr}(A^{\mathrm{T}}B)$。

注

(1)

梯度是线性函数$\partial f({\mathit{x}}_0)$在$E={\mathbb{R}}^m$中的内积表示。

(2)

梯度方向是函数的方向导数最大的方向，即函数值增长最快的方向；梯度的大小是函数最大的方向导数值。

2.2.5 高阶偏导数

重要概念回顾 设$\{{\mathit{v}}_1,\cdots ,{\mathit{v}}_m\}$是${\mathbb{R}}^m$的一组基，对应的坐标向量为$(x_1,\cdots ,x_m{)}^{\mathrm{T}}$，函数$f:{\mathbb{R}}^m\to \mathbb{R}$，则$f$在${\mathit{x}}_0$处的$k$阶偏导数为$$\begin{array}{}\text{(18)}& \frac{{\partial }^{k}f}{\partial x_{i_k}\partial x_{i_{k-1}}\cdots \partial x_{i_1}}=\frac{\partial }{\partial x_{i_k}}\frac{\partial }{\partial x_{i_{k-1}}}\cdots \frac{\partial f}{\partial x_{i_1}}({\mathit{x}}_0),i_1,\cdots ,i_k\in \{1,\cdots ,m\}\end{array}$$

重要定理回顾

(1)

如果函数$f$的所有$k$阶偏导数都连续，记作$f\in {\mathcal{C}}^k$，则$f$的$k$阶偏导数的值与求导顺序无关。

(2)

设函数$f,g\in {\mathcal{C}}^k$、$\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$，则$\lambda f+\mu g,f\cdot g\in {\mathcal{C}}^k$。

(3)

设函数$f\in {\mathcal{C}}^k$、映射$G\in {\mathcal{C}}^k$（意为$G$的每一个分量$G_i\in {\mathcal{C}}^k$），则$f\circ G\in {\mathcal{C}}^k$。

应用

(1)

计算平面Laplace算子$\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}$在极坐标系下的表示。

(2)

证明：矩阵求逆算子$f:A\mapsto A^{-1}$在其定义域内是${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$的。

注

(1)

$k$阶偏导数共有$m^k$个。

(2)

当$k=2$时，设$m\times m$矩阵$H$满足$H_{ij}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}$，则$H$称为Hesse矩阵。

(3)

当高阶偏导数的值与求导顺序无关时，偏导数可简写为$\frac{{\partial }^{k}f}{\partial x_m^{{\alpha }_m}\cdots \partial x_1^{{\alpha }_1}}$，其中${\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_m=k$。

2.2.6 *协变与逆变

设$\mathcal{U}=\{{\mathit{u}}_1,\cdots ,{\mathit{u}}_m\}$、$\mathcal{V}=\{{\mathit{v}}_1,\cdots ,{\mathit{v}}_m\}$是${\mathbb{R}}^m$的两组基，从$\mathcal{V}$到$\mathcal{U}$的基变换矩阵$B$满足$$\begin{array}{}\text{(19)}& {\mathit{u}}_i=\sum _{j=1}^m{\mathit{v}}_j{b}_{ji}⟺\left(\begin{array}{ccc}{\mathit{u}}_1& \cdots & {\mathit{u}}_m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\mathit{v}}_1& \cdots & {\mathit{v}}_m\end{array}\right)B\end{array}$$ 易知$B$可逆。

现在我们考虑向量$\mathit{w}$在$\mathcal{V},\mathcal{U}$这两组基上展开的坐标向量，分别记$\mathit{x}=(x_1,\cdots ,x_m{)}^{\mathrm{T}}$、$\mathit{y}=(y_1,\cdots ,y_m{)}^{\mathrm{T}}$。假设$\mathit{x},\mathit{y}$之间存在变换$$\begin{array}{}\text{(20)}& \mathit{y}=A\mathit{x}⟺y_i=\sum _{j=1}^m{a}_{ij}{x}_j\end{array}$$ 注意到$$\begin{array}{}\text{(21)}& \begin{array}{rl}\mathit{w}& =\sum _{i=1}^m{y}_i{\mathit{u}}_i=\sum _{i=1}^m\left(\sum _{j=1}^m{a}_{ij}{x}_j\right)\left(\sum _{k=1}^m{\mathit{v}}_k{b}_{ki}\right)=\sum _{k=1}^m\left(\sum _{j=1}^m\sum _{i=1}^m{b}_{ki}{a}_{ij}{x}_j\right){\mathit{v}}_k\\ & =\sum _{k=1}^m(\sum _{j=1}^m(BA{)}_{kj}{x}_j){\mathit{v}}_k=\sum _{k=1}^m{x}_k{\mathit{v}}_k\end{array}\end{array}$$ 故有$$\begin{array}{}\text{(22)}& \sum _{j=1}^m(BA{)}_{kj}{x}_j=x_k,\mathrm{\forall }k,\mathrm{\forall }\mathit{x}\in {\mathbb{R}}^m⟹BA=I⟹A=B^{-1}\end{array}$$ 由此证明了“若$A$存在，则$A=B^{-1}$”，代入验证即可得到$A$的存在性。因此坐标向量的变换形式为$$\begin{array}{}\text{(23)}& \mathit{y}=B^{-1}\mathit{x}\end{array}$$ 它的变换矩阵是基变换矩阵的逆矩阵。我们把所有类似坐标向量变换方式的变换称为逆变。

现在我们考虑偏导数算子$\frac{\partial }{\partial x_i}$的变换，根据链式法则易得$$\begin{array}{}\text{(24)}& \frac{\partial }{\partial y_i}=\sum _{j=1}^m\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\frac{\partial }{\partial x_j}\end{array}$$ 由于$\mathit{x}=B\mathit{y}$，故有$$\begin{array}{}\text{(25)}& x_j=\sum _{i=1}^m{b}_{ji}{y}_i⟹\frac{\partial x_j}{\partial y_i}=b_{ji}⟹\frac{\partial }{\partial y_i}=\sum _{j=1}^m\frac{\partial }{\partial x_j}{b}_{ji}\end{array}$$ 因此偏导数算子的变换形式为$$\begin{array}{}\text{(26)}& \left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial }{\partial y_1}& \cdots & \frac{\partial }{\partial y_m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial }{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial }{\partial x_m}\end{array}\right)B\end{array}$$ 它的变换矩阵和基变换矩阵相同。我们把所有类似基变换方式的变换称为协变。全微分算子$\mathrm{d}$是协变算子。

逆变指标一般写在上标位置，协变指标一般写在下标位置，我们后面也将采用此记号。

2.2.7 *曲面坐标系(1)

在${\mathbb{R}}^n$中，利用我们熟悉的直角坐标系¹$(x,y,z)=:(x^1,\cdots ,x^n)$，可以定义曲面坐标系$(x^{\prime 1},\cdots ,x^{\prime n})$为$$\begin{array}{}\text{(27)}& x^{\prime i}=x^{\prime i}(x^1,\cdots ,x^n),i=1,\cdots ,n\end{array}$$ 上式就是直角坐标系到曲面坐标系的坐标变换。为保证$x^{\prime 1},\cdots ,x^{\prime n}$相互独立，应当要求Jacobi矩阵可逆，即$$\begin{array}{}\text{(28)}& detJ=det\frac{\partial (x^{\prime 1},\cdots ,x^{\prime n})}{\partial (x^1,\cdots ,x^n)}\ne 0\end{array}$$

有了坐标系后，我们就可以定义坐标系的基向量：

• 协变基向量：${\mathit{g}}_i=\frac{\partial \mathit{r}}{\partial x^i}$。对应的坐标向量$\mathit{A}=\sum _i{A}^i{\mathit{g}}_i$称为逆变分量。
• 逆变基向量：${\mathit{g}}^i=\mathrm{\nabla }{x}^i$。对应的坐标向量$\mathit{A}=\sum _i{A}_i{\mathit{g}}^i$称为协变分量。
• 正交归一基：可选择以上基向量进行Gram-Schmidt正交化，得到正交归一基向量${\mathit{e}}_i$。对应的坐标向量$\mathit{A}=\sum _i{\hat{A}}_i{\mathit{e}}_i$（无所谓上下标）称为物理分量。

定义空间的度规$G$为$$\begin{array}{}\text{(30)}& g_{ij}=g_{ji}=⟨{\mathit{g}}_i,{\mathit{g}}_j⟩,G=(g_{ij}{)}_{n\times n}\end{array}$$ 与此同时，定义$$\begin{array}{}\text{(31)}& g^{ij}=g^{ji}=⟨{\mathit{g}}^i,{\mathit{g}}^j⟩\end{array}$$ 容易验证$G^{-1}=(g^{ij}{)}_{n\times n}$。

对空间的任意一点，如果通过该点的三个坐标面总是互相垂直的，这个坐标系就称为正交曲面坐标系。坐标面垂直等价于其法向量${\mathit{g}}^i$相互垂直，亦即$G^{-1}$为对角矩阵。因此

度规与（微元）弧长也存在联系。计算可知²$$\begin{array}{}\text{(32)}& \mathrm{d}{s}^2=\sum _{i,j}{g}_{ij}\mathrm{d}{x}^i\mathrm{d}{x}^j=g_{ij}\mathrm{d}{x}^i\mathrm{d}{x}^j\end{array}$$ 在我们熟悉的直角坐标系${\mathbb{R}}^n$中，有$$\begin{array}{}\text{(33)}& \mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{x}_1^2+\cdots +\mathrm{d}{x}_n^2\end{array}$$

解 计算可知$$\begin{array}{}\text{(34)}& \begin{array}{rl}\mathrm{d}{s}^2& =\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2+\mathrm{d}{z}^2\\ \mathrm{d}{s}^2& =\mathrm{d}{\rho }^2+{\rho }^2\mathrm{d}{\varphi }^2+\mathrm{d}{z}^2\\ \mathrm{d}{s}^2& =\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2\end{array}\end{array}$$ 在实际运用中，可不必计算、依赖朴素的物理直觉得到以上三式。 $◻$

利用定义式计算度规较为麻烦，在实际运用中通常会借助坐标变换的Jacobi矩阵来计算度规。

（未完待续）

2.2.8 *全微分与梯度

度规可以帮助我们得到正交曲面坐标系下的梯度算符。

在更一般的坐标系中，我们有下面的结论：

解 设$\mathit{v}={\xi }_1{\mathit{v}}_1+\cdots +{\xi }_m{\mathit{v}}_m$，$\mathrm{\nabla }f({\mathit{x}}_0)=c_1{\mathit{v}}_1+\cdots +c_m{\mathit{v}}_m$，则$$\begin{array}{}\text{(47)}& \begin{array}{rl}\mathrm{d}f({\mathit{x}}_0)(\mathit{v})& =⟨\mathrm{\nabla }f({\mathit{x}}_0),\mathit{v}⟩=⟨\sum _{i=1}^m{c}_i{\mathit{v}}_i,\sum _{j=1}^m{\xi }_j{\mathit{v}}_j⟩=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^m{c}_i⟨{\mathit{v}}_i,{\mathit{v}}_j⟩{\xi }_j\\ & =\left(\begin{array}{ccc}{c}_1& \cdots & c_m\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}⟨{\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_1⟩& \cdots & ⟨{\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_m⟩\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ ⟨{\mathit{v}}_m,{\mathit{v}}_1⟩& \cdots & ⟨{\mathit{v}}_m,{\mathit{v}}_m⟩\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\xi }_1\\ ⋮\\ {\xi }_m\end{array}\right)\end{array}\end{array}$$ 记度规$G:=(⟨{\mathit{v}}_i,{\mathit{v}}_j⟩{)}_{m\times m}$，由（全）微分的定义可知$$\begin{array}{}\text{(48)}& \mathrm{d}f({\mathit{x}}_0)(\mathit{v})=\sum _{i=1}^m\frac{\partial f}{\partial x_i}({\mathit{x}}_0){\xi }_i=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f}{\partial x_1}({\mathit{x}}_0)& \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_m}({\mathit{x}}_0)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\xi }_1\\ ⋮\\ {\xi }_m\end{array}\right)\end{array}$$ 因此$$\begin{array}{}\text{(49)}& \mathrm{\nabla }f({\mathit{x}}_0)=G^{-1}\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x_1}({\mathit{x}}_0)\\ ⋮\\ \frac{\partial f}{\partial x_m}({\mathit{x}}_0)\end{array}\right)⟹\mathrm{\nabla }=G^{-1}\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x_1}\\ ⋮\\ \frac{\partial }{\partial x_m}\end{array}\right)\end{array}$$ 当$\{{\mathit{v}}_1,\cdots ,{\mathit{v}}_m\}$是标准正交基时，$G=I$。 $◻$

由此我们发现$\mathrm{\nabla }=G^{-1}{\mathrm{d}}^{\mathrm{T}}$，此即梯度在协变基向量下的坐标向量表示。在此基础上，我们可以进一步证明：

在正交曲面坐标系中，正交归一基更为常用，此时梯度的物理分量表示为$$\begin{array}{}\text{(55)}& \mathrm{\nabla }u=G^{-1}\sum _{i=1}^m\frac{\partial u}{\partial x_i}{h}_i{\mathit{e}}_i=\sum _{i=1}^m\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{{\mathit{e}}_i}{\sqrt{g_{ii}}}\end{array}$$

2.2.9 *线性映射的伴随

设$A:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$为$m\times n$矩阵，$A$的转置矩阵$A^{\mathrm{T}}:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$的定义为$(A^{\mathrm{T}}{)}_{ij}=A_{ji}$。然而，对于一般的线性映射，以上定义不便操作，故我们可借助内积来定义线性映射的伴随。设$A:U\to V$是线性映射，则$A$的伴随映射$A^{\mathrm{T}}:V\to U$也是个线性映射，其满足$$\begin{array}{}\text{(56)}& ⟨A\mathit{u},\mathit{v}{⟩}_V=⟨\mathit{u},A^{\mathrm{T}}\mathit{v}{⟩}_U,\mathrm{\forall }\mathit{u}\in U,\mathrm{\forall }\mathit{v}\in V\end{array}$$ 容易证明这个定义与矩阵转置的定义等价。方便起见，以下省略内积的下标。

线性映射与其伴随的Jacobi矩阵满足什么关系呢？

设$\mathcal{U}=\{{\mathit{u}}_1,\cdots ,{\mathit{u}}_n\}$、$\mathcal{V}=\{{\mathit{v}}_1,\cdots ,{\mathit{v}}_m\}$分别是$U,V$的一组基，对应的坐标向量为$(x_1,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$、$(y_1,\cdots ,y_m{)}^{\mathrm{T}}$，记$A{\mathit{u}}_i=\sum _{i=1}^n{\mathit{v}}_j{a}_{ji}$，则有$$\begin{array}{}\text{(57)}& \sum _{j=1}^n\frac{\partial A_j}{\partial x_i}{\mathit{v}}_j=\frac{\partial A}{\partial x_i}({\mathit{x}}_0)=\underset{t\to 0}{lim}\frac{A({\mathit{x}}_0+t{\mathit{u}}_i)-A({\mathit{x}}_0)}{t}=A{\mathit{u}}_i=\sum _{j=1}^n{\mathit{v}}_j{a}_{ji}⟹\frac{\partial A_j}{\partial x_i}=a_{ji}\end{array}$$ 故$$\begin{array}{}\text{(58)}& \tilde{A}:=\mathrm{J}A=(a_{ij}{)}_{n\times n}⟹\frac{\partial A}{\partial x_i}({\mathit{x}}_0)=A{\mathit{u}}_i=\sum _{j=1}^n{\mathit{v}}_j{\tilde{A}}_{ji},\mathrm{\forall }{\mathit{x}}_0\in U\end{array}$$ 同理$$\begin{array}{}\text{(59)}& \frac{\partial A^{\mathrm{T}}}{\partial y_j}({\mathit{y}}_0)=A^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j=\sum _{i=1}^m{\mathit{u}}_i{\widetilde{A^{\mathrm{T}}}}_{ij},\mathrm{\forall }{\mathit{y}}_0\in V\end{array}$$ 注意到$$\begin{array}{}\text{(60)}& \sum _{k=1}^m⟨{\mathit{u}}_i,{\mathit{u}}_k⟩{\widetilde{A^{\mathrm{T}}}}_{kj}=⟨{\mathit{u}}_i,A^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j{⟩}_U=⟨{\mathit{v}}_j,A{\mathit{u}}_i⟩=\sum _{k=1}^n⟨{\mathit{v}}_j,{\mathit{v}}_k{⟩}_V{\tilde{A}}_{ki}\end{array}$$ 记度量矩阵$M_U:=(⟨{\mathit{u}}_i,{\mathit{u}}_j⟩{)}_{n\times n}$、$M_V:=(⟨{\mathit{v}}_i,{\mathit{v}}_j⟩{)}_{m\times m}$，它们都是对称矩阵，则上式可写为$$\begin{array}{}\text{(61)}& M_U\widetilde{A^{\mathrm{T}}}=(M_V\tilde{A}{)}^{\mathrm{T}}⟹\widetilde{A^{\mathrm{T}}}=M_U^{-1}{\tilde{A}}^{\mathrm{T}}{M}_V\end{array}$$ 当$\mathcal{U},\mathcal{V}$为标准正交基时，$M_U=I$且$M_V=I$，此时$\widetilde{A^{\mathrm{T}}}={\tilde{A}}^{\mathrm{T}}$。