6.2 知识点复习

6.2.1 含参定积分

重要概念回顾 含参积分：$F(\mathit{y}):={\int }_a^{b}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$，其中$\mathit{y}$为参数。

重要定理回顾

(1)

连续性：设${\mathit{y}}_0\in U\subseteq {\mathbb{R}}^n$，函数$f:[a,b]\times U\to \mathbb{R}$满足

• $\mathrm{\forall }\mathit{y}\in U$，$f(\cdot ,\mathit{y})\in \mathcal{C}([a,b])$；
• $f(x,\mathit{y})$在${\mathit{y}}_0$处关于$\mathit{y}$连续，且对$x$一致，即$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }\delta (\epsilon )>0$使得$\mathrm{\forall }x\in [a,b]$、$\mathrm{\forall }\mathit{y}\in U$，$\parallel \mathit{y}-{\mathit{y}}_0\parallel <\delta (\epsilon )⟹|f(x,\mathit{y})-f(x,{\mathit{y}}_0)|<\epsilon$。

则${\int }_a^{b}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$在${\mathit{y}}_0$处关于$\mathit{y}$连续。

(2)

连续性的推论1：设$U\in {\mathbb{R}}^n$为开集（闭集），$f:[a,b]\times U\to \mathbb{R}$关于$(x,\mathit{y})$连续，则${\int }_a^{b}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$关于$\mathit{y}$连续。

(3)

连续性的推论2：若$f$满足$\mathrm{\forall }\mathit{y}\in U$都有$f(\cdot ,\mathit{y})\in \mathcal{R}[a,b]$¹且$\mathrm{\forall }k$都有$\frac{\partial f}{\partial y_k}$有界，则${\int }_a^{b}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$关于$\mathit{y}$连续。

(4)

偏导数：若$f$满足$\mathrm{\forall }k$都有$\frac{\partial f}{\partial y_k}(x,\mathit{y})$关于$(x,\mathit{y})$连续，则$F\in {\mathcal{C}}^1$且满足$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{\partial }{\partial y_k}{\int }_a^{b}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x=\frac{\partial F}{\partial y_k}={\int }_a^b\frac{\partial f}{\partial y_k}(x,\mathit{y})\mathrm{d}x\end{array}$$

(5)

高阶偏导数：设$f$关于$\mathit{y}$的所有$k$阶偏导数都关于$(x,\mathit{y})$连续，则$F\in {\mathcal{C}}^k$，且$$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{{\partial }^{k}F}{\partial y_{i_k}\cdots \partial y_{i_1}}(\mathit{y})={\int }_a^b\frac{{\partial }^{k}f}{\partial y_{i_k}\cdots \partial y_{i_1}}(x,\mathit{y})\mathrm{d}x\end{array}$$

(6)

积分换序：设$f:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb{R}$连续，则$F(y):={\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x$满足$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y\end{array}$$

应用

(1)

判断${\int }_0^1\cos (xy)\mathrm{d}x$的连续性并计算。

(2)

计算${\int }_0^1\frac{x^b-x^a}{\ln x}\mathrm{d}x$。

(3)

利用变分法证明：两点之间，线段最短。

6.2.2 含参广义积分

含参广义积分包括无穷区间上的含参积分和含参瑕积分，后者可以转换为前者，因此我们只需要讨论无穷区间上的含参积分。

重要概念回顾

(1)

含参广义积分：$F(\mathit{y}):={\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$，其中$\mathit{y}$为参数。

(2)

逐点收敛：称${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$关于$\mathit{y}\in U$逐点收敛，若$\mathrm{\forall }\mathit{y}\in U$，$\mathrm{\exists }F(\mathit{y})\in \mathbb{R}$使得$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }N(\epsilon ,\mathit{y})>a$使得$\mathrm{\forall }A>N(\epsilon ,\mathit{y})$，都有$$\begin{array}{}\text{(4)}& |{\int }_a^{A}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x-F(\mathit{y})|<\epsilon \end{array}$$

(3)

一致收敛：称${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$关于$\mathit{y}\in U$一致收敛，若$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }N(\epsilon )>a$使得$\mathrm{\forall }\mathit{y}\in U$，$\mathrm{\forall }A>N(\epsilon )$，$\mathrm{\exists }F(\mathit{y})\in \mathbb{R}$使得$$\begin{array}{}\text{(5)}& |{\int }_a^{A}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x-F(\mathit{y})|<\epsilon \end{array}$$ 亦即逐点收敛中的$N(\epsilon ,\mathit{y})$与$\mathit{y}$无关。

重要定理回顾

(1)

连续性：设${\mathit{y}}_0\in U\subseteq {\mathbb{R}}^n$，函数$f:[a,+\mathrm{\infty })\times U\to \mathbb{R}$满足

• $F(\mathit{y}):={\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$关于$\mathit{y}\in U$一致收敛；
• $\mathrm{\forall }x\ge a$，$f(x,\mathit{y})$关于$\mathit{y}\in U$在${\mathit{y}}_0$处连续，且连续性对$x$在任意有界闭区间$[a,b]$上一致成立，即$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }\delta (\epsilon ,[a,b])>0$使得$\mathrm{\forall }x\in [a,b]$，$\mathrm{\forall }\mathit{y}\in U$，都有$$\begin{array}{}\text{(6)}& \parallel \mathit{y}-{\mathit{y}}_0\parallel <\delta ⟹|f(x,\mathit{y})-f(x,{\mathit{y}}_0)|<\epsilon \end{array}$$

则$F(\mathit{y})$在${\mathit{y}}_0$处连续。

(2)

可微性：设${\mathit{y}}_0\in U\subseteq {\mathbb{R}}^n$，$U$为开集，函数$f:[a,+\mathrm{\infty })\times U\to \mathbb{R}$满足

• ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x,{\mathit{y}}_0)\mathrm{d}x$收敛；
• $\mathrm{\forall }1\le k\le n$，$\frac{\partial f}{\partial y_k}(x,\mathit{y})$关于$(x,\mathit{y})$连续，且${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{\partial f}{\partial y_k}(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$关于$\mathit{y}\in U$一致收敛。

则存在${\mathit{y}}_0$的邻域$V\subseteq U$，使得$F(\mathit{y}):={\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$在$V$上关于$\mathit{y}$一致收敛且${\mathcal{C}}^1$；并且$\mathrm{\forall }1\le k\le n$，广义积分与偏导数可交换，即$$\begin{array}{}\text{(7)}& \frac{\partial }{\partial y_k}{\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x={\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{\partial f}{\partial y_k}(x,\mathit{y})\mathrm{d}x\end{array}$$

(3)

可积性：设函数$f:[c,+\mathrm{\infty })\times [a,b]\to \mathbb{R}$连续，${\int }_c^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}x$关于$y\in [a,b]$一致收敛，则${\int }_c^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{d}x{\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}y$收敛，并且$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\int }_c^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{d}x{\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}y={\int }_a^b\mathrm{d}y{\int }_c^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}x\end{array}$$

(4)

广义可积性：设函数$f:[c,+\mathrm{\infty })\times [a,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$连续，${\int }_c^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}x$和${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}y$均（关于另一个变量）一致收敛，则对于以下等式$$\begin{array}{}\text{(9)}& {\int }_c^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{d}x{\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}y={\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{d}y{\int }_c^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}x\end{array}$$ 若等式一侧收敛，则另一侧也收敛，且两侧相等。

应用 积分变换：$$\begin{array}{}\text{(10)}& g(y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}K(x,y)f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$ 如卷积、Laplace变换等。由此我们引出积分变换法解ODE的基本思路：通过积分变换将微分方程转化为代数方程、解代数方程、通过逆变换得到原方程的解。

6.2.3 一致收敛的判定

重要定理回顾

(1)

一致Cauchy：${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$关于$\mathit{y}\in U$一致收敛当且仅当$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }N(\epsilon )>a$使得$\mathrm{\forall }\mathit{y}\in U$，$\mathrm{\forall }A>B>N(\epsilon )$，都有$$\begin{array}{}\text{(11)}& |{\int }_B^{A}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x|<\epsilon \end{array}$$

(2)

Weierstrass强函数：设$|f(x,\mathit{y})|\le g(x)$对所有$x\in [a,+\mathrm{\infty })$、$\mathit{y}\in U$成立，若${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x$收敛，则${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$关于$\mathit{y}\in U$一致收敛。

(3)

乘积函数的判别法：对于${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x,\mathit{y})g(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$，设$g(x,\mathit{y})$关于$x$单调递减对$\mathrm{\forall }\mathit{y}\in U$成立，若其满足以下两个条件之一：

• Dirichlet判别法：${\int }_a^{A}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$对所有$A>a$和$\mathit{y}\in U$一致有界；$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x,\mathit{y})=0$对$\mathrm{\forall }\mathit{y}\in U$一致成立。
• Abel判别法：${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$对$\mathrm{\forall }\mathit{y}\in U$一致收敛；$g(x,\mathit{y})$有界对$\mathrm{\forall }\mathit{y}\in U$一致成立。

则${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x,\mathit{y})g(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$关于$\mathit{y}\in U$一致收敛。

应用

(1)

Gamma函数：$$\begin{array}{}\text{(12)}& \mathrm{\Gamma }(s)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{s-1}{e}^{-x}\mathrm{d}x\in {\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }},\mathrm{\forall }s>0\end{array}$$

(2)

Beta函数：$$\begin{array}{}\text{(13)}& B(p,q)={\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}\mathrm{d}x\in {\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }},\mathrm{\forall }p>0,q>0\end{array}$$ 两者的关系：$$\begin{array}{}\text{(14)}& B(p,q)=\frac{\mathrm{\Gamma }(p)\mathrm{\Gamma }(q)}{\mathrm{\Gamma }(p+q)}\end{array}$$

(3)

借助Dirichlet核计算Dirichlet积分：$$\begin{array}{}\text{(15)}& g(y)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-xy}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x⟹{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}\end{array}$$