12.2 知识点复习

12.2.1 函数项数列

重要概念回顾

(1)

逐点收敛：设$f,f_n:I\to \mathbb{R}(\mathbb{C})$，称$f_n$在$I$上逐点收敛于$f$，若$\mathrm{\forall }x\in I$，有$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)=f(x)$。

(2)

一致收敛：设$f,f_n:I\to \mathbb{R}(\mathbb{C})$，称$f_n$在$I$上一致收敛于$f$，若$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}$，使得$\mathrm{\forall }x\in I$、$\mathrm{\forall }n>N$，有$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$，记作$f_n\stackrel{I}{\rightrightarrows }f$。

重要定理回顾

(1)

记$\parallel f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=\underset{x\in I}{sup}|f(x)|$，则$f_n\stackrel{I}{\rightrightarrows }f$当且仅当$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\parallel f_n-f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=0$。

(2)

若$f_n\stackrel{I}{\rightrightarrows }f$，则$f_n$在$I$上逐点收敛于$f$。

(3)

一致Cauchy：$f_n$在$I$上一致收敛当且仅当$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}$，使得$\mathrm{\forall }n,m>N$，有$\parallel f_n-f_m{\parallel }_{\mathrm{\infty }}<\epsilon$。

(4)

有界性：设$f_n\stackrel{I}{\rightrightarrows }f$，$f_n\in \mathcal{B}(I)$，其中$\mathcal{B}(I)$表示$I$上的有界函数集合，则

• $f\in \mathcal{B}(I)$，即$(\mathcal{B}(I),\parallel \cdot {\parallel }_{\mathrm{\infty }})$是完备的；
• $\{f_n\}$在$I$上一致有界，即$\mathrm{\exists }M>0$，使得$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$\parallel f_n{\parallel }_{\mathrm{\infty }}\le M$。

(5)

连续性：设$f_n\stackrel{I}{\rightrightarrows }f$，$f_n\in \mathcal{C}(I)$，则

• $f\in \mathcal{C}(I)$，即$\mathcal{C}(I)$在一致收敛的意义下是闭集；
• 设$I\subseteq \mathbb{R}$为有界闭集，则$\mathcal{C}(I)$是$(\mathcal{B}(I),\parallel \cdot {\parallel }_{\mathrm{\infty }})$的闭子集。
• 设$I\subseteq \mathbb{R}$为有界闭集，则$\{f_n\}$在$I$上等度一致连续，即$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }\delta >0$，使得$\mathrm{\forall }x,y\in I$、$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$|x-y|<\delta ⟹|f_n(x)-f_n(y)|<\epsilon$。

(6)

可积性：设$f_n\stackrel{I}{\rightrightarrows }f$，$f_n\in \mathcal{R}(I)$，则$f\in \mathcal{R}(I)$，即$(\mathcal{R}(I),\parallel \cdot {\parallel }_{\mathrm{\infty }})$是完备的，且$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\int }_{I}f(x)\mathrm{d}x={\int }_I\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)\mathrm{d}x=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_I{f}_n(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

(7)

可微性：设$f_n,g:I\to \mathbb{R}$、$I=[a,b]$满足

• $f_n(a)\to A$，$n\to +\mathrm{\infty }$；
• $f_n^{\prime }\in \mathcal{C}(I)$，$f_n^{\prime }\stackrel{I}{\rightrightarrows }g$；

则$f_n\stackrel{I}{\rightrightarrows }f$，其中$f\in {\mathcal{C}}^1(I)$且$f^{\prime }(x)=g(x)$，亦即$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\left(\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n\right)}^{\prime }=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n^{\prime }\end{array}$$

应用

(1)

设$f_n(x)=x^n$、$I=[0,1]$，则$f_n$逐点收敛于$$\begin{array}{}\text{(3)}& f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\in [0,1)\\ 1,& x=1\end{array}\end{array}$$ $\mathrm{\forall }a\in (0,1)$，$f_n$在$[0,a]$上一致收敛于$f$，但$f_n$在$[0,1]$上不一致收敛于$f$。

(2)

设$$\begin{array}{}\text{(4)}& f_n(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& \frac{1}{n}\le x\le 1\\ n,& 0<x<\frac{1}{n}\end{array}\end{array}$$ 则$f_n$在$(0,1]$上有界且逐点收敛于$f(x)=\frac{1}{x}$，但$f_n$在$(0,1]$上不一致收敛于$f$，因为$f$在$(0,1]$上无界。

12.2.2 函数项级数

重要概念回顾 一致收敛：称$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)\stackrel{I}{\rightrightarrows }S(x)$，若$S_N=\sum _{n=1}^N{u}_n(x)\stackrel{I}{\rightrightarrows }S(x)$，即$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}$，使得$\mathrm{\forall }n>N$，有${\Vert \sum _{n=1}^N{u}_n(x)-S(x)\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\epsilon$。

重要定理回顾

(1)

连续性、可积性：设$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\stackrel{I}{\rightrightarrows }S$，则

• 若$u_n$在$x_0\in I$处连续，则$S(x)$在$x_0$处连续；
• 若$u_n\in \mathcal{R}(I)$，则$S\in \mathcal{R}(I)$，且$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\int }_I\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)\mathrm{d}x={\int }_{I}S(x)\mathrm{d}x=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_I{u}_n(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

(2)

可微性：若$u_n\in {\mathcal{C}}^1(I)$，$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\stackrel{I}{\rightrightarrows }T$，且$\mathrm{\exists }{x}_0\in I$使得$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x_0)=A\in \mathbb{R}$，则$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n\stackrel{I}{\rightrightarrows }S(x)=A+{\int }_{x_0}^{x}T(t)\mathrm{d}t$，其中$S\in {\mathcal{C}}^1(I)$且$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\left(\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n\right)}^{\prime }=S^{\prime }(x)=T(x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n^{\prime }\end{array}$$

(3)

一致Cauchy：$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)$在$I$上一致收敛当且仅当$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}$，使得$\mathrm{\forall }n,m>N$，有${\Vert \sum _{k=n+1}^m{u}_k\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\epsilon$。

(4)

Weierrstrass强级数：设$|u_n(x)|\le a_n$，若$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)$在$I$上一致收敛。

(5)

Dirichlet/Abel判别法：若$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)v_n(x)$满足以下两组条件之一，则其在$I$上一致收敛：

• Dirichlet：$\sum _{n=1}^N{u}_n(x)$关于$N$一致有界（即$\mathrm{\exists }M>0$，使得$\mathrm{\forall }N\in \mathbb{N}$，$\mathrm{\forall }x\in I$，${\Vert \sum _{n=1}^N{u}_n(x)\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le M$），$\{v_n(x)\}$关于$n$单调递减，且$v_n(x)\stackrel{I}{\rightrightarrows }0$；
• Abel：$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)$一致收敛，$\{v_n(x)\}$关于$n$单调且一致有界。

应用

(1)

$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^2}{(1+x^2{)}^n}$在$(0,+\mathrm{\infty })$（或$(-\mathrm{\infty },0)$）上内闭一致收敛，即$\mathrm{\forall }\delta >0$，原级数在$[\delta ,+\mathrm{\infty })$（或$(-\mathrm{\infty },-\delta ]$）上一致收敛。然而，原级数在$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$上不一致收敛。

(2)

Weierrstrass函数：$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}^n\cos (b^n\pi x)$，其中$0<a<1$、$b$为正奇数且满足$ab>1$。这是一个处处连续但处处不可导的函数。

(3)

证明：$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin nx}{n}=\frac{\pi -x}{2}$。

(4)

证明：$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\cos nx}{n^2}=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}+\frac{x^2-2\pi x}{4}$，计算其在$[0,2\pi ]$上的积分即可得到$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$。

12.2.3 幂级数

重要概念回顾

(1)

幂级数：称$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$为幂级数。形式上记$x^0=1$。

(2)

收敛半径：$R=sup\{|x||\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\text{ C.V.}\}$。

(3)

收敛域：$D=sup\left\{x\right|\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\text{ C.V.}\}$。

(4)

解析：称$f$在$x_0$处解析，若$\mathrm{\exists }\delta >0$，使得$$\begin{array}{}\text{(7)}& f(x)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n(x-x_0{)}^n=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n,\mathrm{\forall }x\in B(x_0,\delta )\end{array}$$

重要定理回顾

(1)

一点收敛、内部一致收敛：若$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}_0^n$收敛，则$\mathrm{\forall }r\in [0,|x_0|)$，$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$在$\bar{B}(0,r)$上一致收敛。

(2)

一点收敛、沿线一致收敛：若$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}_0^n$收敛，则$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n(t{x}_0{)}^n$关于$t\in [0,1]$一致收敛。

(3)

一点发散、外部发散：若$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}_0^n$发散，则$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$在$\{x\in \mathbb{C}\mid |x|>|x_0|\}$上发散。

(4)

一点绝对收敛、（边界上）处处绝对收敛：若$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}_0^n$绝对收敛，则$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$在$\{x\in \mathbb{C}\mid |x|=|x_0|\}$上处处绝对收敛。因此收敛圆环边界上的敛散性有且仅有4种情况：处处绝对收敛、处处条件收敛、部分条件收敛部分发散、处处发散。

(5)

设级数$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$的收敛半径为$R$，则

• Cauchy测试：$R={\left(\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim sup}\sqrt[n]{|a_n|}\right)}^{-1}$。
• D’Alembert测试：若$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$存在，则有$R={\left(\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\right)}^{-1}$。
• $\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$在$B(0,R)$上内闭一致绝对收敛，其和函数$f(x)$在$B(0,R)$上连续。
• 设$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}_0^n$收敛，$|x_0|=R$，则$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n(t{x}_0{)}^n$的函数关于$t\in [0,1]$连续。
• 设$R>0$，则$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}$的收敛半径仍为$R$。设$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}_0^n$收敛，则$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\int }_0^{x_0}\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\mathrm{d}x=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n+1}{x}_0^{n+1}\end{array}$$ 其中${\int }_0^{x_0}$的积分路径须为线段。
• 设$R>0$，则$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}n{a}_n{x}^{n-1}$的收敛半径仍为$R$，且$\mathrm{\forall }|x|<R$，$$\begin{array}{}\text{(9)}& {\left(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\right)}^{\prime }=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}n{a}_n{x}^{n-1}\end{array}$$ 设$S(x)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$（$|x|<R$），则$S\in {\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$且$\mathrm{\forall }k\ge 1$，$$\begin{array}{}\text{(10)}& S^{(k)}(x)={\left(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\right)}^{(k)}=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}n(n-1)\cdots (n-k+1)a_n{x}^{n-k}\end{array}$$ 且$S^{(k)}(0)=k!a_k$，此时幂级数就是函数$S(x)$的Taylor（Maclaurin）级数。
• 若幂级数在$x_1,x_2$处都收敛，则其在区间$[x_1,x_2]$上一致收敛，因而和函数在收敛域中连续，并且可以逐项积分。
• 在开区间$(-R,R)$内，幂级数可以逐项求导。

(6)

函数的幂级数展开与Taylor级数：

• ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$函数都可以展开成Taylor级数，但Taylor级数未必收敛（指收敛半径$R>0$）；即使Taylor级数收敛，其和函数也未必是展开前的函数，如${\mathrm{e}}^{-1/x^2}$。
• Taylor级数（收敛半径$R>0$时）的和函数是解析函数，解析函数都是${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$函数。
• 利用代数运算以及复合等构造，把函数用基本初等函数表达，然后再展开成幂级数。
• 设$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$、$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{b}_n{x}^n$的收敛半径分别为$R_A,R_B$，则$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(a_n\pm b_n)x^n$的收敛半径$R\ge min\{R_A,R_B\}$；且当$R_A\ne R_B$时¹，等式成立。
• 乘法：$$\begin{array}{}\text{(11)}& \left(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\right)\left(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{b}_n{x}^n\right)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)x^n\end{array}$$
• 除法：$$\begin{array}{}\text{(12)}& \frac{1}{1-g(x)}=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}g(x{)}^n\end{array}$$
• 复合：一般情况下的表达式很复杂，但$f(x^m),f(ax+b)$可以利用$f$的幂级数和二项式展开得到。

应用

(1)

$\exp x:=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$的收敛半径为$R=+\mathrm{\infty }$。也可以利用级数定义$\sin x$和$\cos x$，由此得到Euler公式$e^{ix}=\cos x+i\sin x$。

(2)

证明：${\int }_0^1{x}^x\mathrm{d}x=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^n}$。

(3)

证明：$$\begin{array}{}\text{(13)}& (1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n\end{array}$$ 当$\alpha \le -1$时，收敛域为$(-1,1)$；当$\alpha \in (-1,0)$时，收敛域为$(-1,1]$；当$\alpha >0$时，收敛域为$[-1,1]$。

(4)

$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$，积分可得$$\begin{array}{}\text{(14)}& \ln (1+x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n,x\in (-1,1]\end{array}$$

(5)

$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$，积分可得$$\begin{array}{}\text{(15)}& \arctan x=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1},x\in [-1,1]\end{array}$$

(6)

当$x\in (-1,1)$时，$$\begin{array}{}\text{(16)}& (\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\frac{x^{2n}}{4^n}\end{array}$$ 因此$$\begin{array}{}\text{(17)}& \arcsin x=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\end{array}$$

(7)

不是所有${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$函数都能表示为幂级数，如经典的平滑子：$$\begin{array}{}\text{(18)}& f(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-1/x^2},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}\end{array}$$ 注意到$f^{(n)}(0)=0$对任意$n\in \mathbb{N}$成立，但$f(x)$在$x=0$的任意邻域内都不收敛于$0$。

注 设$R$为幂级数$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n(x-x_0{)}^n$的收敛半径，则开区间$(x_0-R,x_0+R)$称为幂级数的收敛区间，而收敛域需要考虑端点处的敛散性。

12.2.4 *用幂级数解微分方程

解 设$H$具有级数解$$\begin{array}{}\text{(20)}& H(x)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n{x}^n\end{array}$$ 代入方程中可得$$\begin{array}{}\text{(21)}& \sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}n(n-1)c_n{x}^{n-2}-\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(2n+1-\lambda )c_n{x}^n=0\end{array}$$ 因此系数$\{c_n\}$满足递推公式$$\begin{array}{}\text{(22)}& c_{n+2}=\frac{2n+1-\lambda }{(n+1)(n+2)}{c}_n,n\in \mathbb{N}\end{array}$$ 为使该微分方程有多项式解，须有$$\begin{array}{}\text{(23)}& \lambda =2n+1,n\in \mathbb{N}\end{array}$$ 其解称为Hermite多项式$H_n(x)$，其可以表示为$$\begin{array}{}\text{(24)}& H_n(x)=(-1{)}^n{\mathrm{e}}^{x^2}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{\mathrm{e}}^{-x^2}\end{array}$$ $◻$

解 设$L$具有级数解$$\begin{array}{}\text{(26)}& L(x)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n{x}^n\end{array}$$ 代入方程中可得系数$\{c_n\}$满足递推公式$$\begin{array}{}\text{(27)}& c_{n+1}=-\frac{\nu -n}{(n+1)(k+n+1)}{c}_n\end{array}$$ 为使该微分方程有多项式解，须有$$\begin{array}{}\text{(28)}& \nu =n,n\in \mathbb{N}\end{array}$$ 其解称为缔合Laguerre多项式$L_n^k(x)$，其可以表示为$$\begin{array}{}\text{(29)}& L_n^k(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{n!x^k}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\left({\mathrm{e}}^{-x}{x}^{n+k}\right)\end{array}$$ $◻$