7.2 知识点复习

7.2.1 一元定积分回顾

重要概念回顾

(1)

Riemann和：设$P:a=x_0<x_1<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$为$[a,b]$的一个划分，选定区间的代表元${\xi }_k\in I_k=[x_{k-1},x_k]$，则$f$在$[a,b]$上的Riemann和为$$\begin{array}{}\text{(1)}& S(f,P,\xi )=\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)\underset{=\mathrm{\Delta }{x}_k=|I_k|}{\underbrace{(x_k-x_{k-1})}}\end{array}$$

(2)

Riemann可积：设$f:[a,b]\to \mathbb{R}$，若$\mathrm{\exists }I\in \mathbb{R}$，使得$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }{\delta }_{\epsilon }>0$，使得对任意划分$P$，$$\begin{array}{}\text{(2)}& \parallel P\parallel :=\underset{1\le k\le n}{max}|x_k-x_{k-1}|<{\delta }_{\epsilon }⟹\mathrm{\forall }\xi =\{{\xi }_k\mid {\xi }_k\in I_k\},|S(f,P,\xi )-I|<\epsilon \end{array}$$ 则称$f$在$[a,b]$上Riemann可积，$I$为$f$在$[a,b]$上的Riemann积分（定积分），记作$$\begin{array}{}\text{(3)}& I={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

(3)

Darboux上下和：设$f:[a,b]\to \mathbb{R}$有界，给定划分$P$，定义$$\begin{array}{}\text{(4)}& \bar{S}(f,P)=\sum _{k=1}^n\underset{x\in I_k}{sup}f(x)|I_k|,\underset{―}{S}(f,P)=\sum _{k=1}^n\underset{x\in I_k}{inf}f(x)|I_k|\end{array}$$ 则显然有$$\begin{array}{}\text{(5)}& \underset{―}{S}(f,P)\le S(f,P,\xi )\le \bar{S}(f,P)\end{array}$$

(4)

Darboux可积：设$f:[a,b]\to \mathbb{R}$，若$\mathrm{\exists }I\in \mathbb{R}$，使得$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，存在划分$P$，使得$$\begin{array}{}\text{(6)}& I-\epsilon <\underset{―}{S}(f,P)\le I\le \bar{S}(f,P)<I+\epsilon ⟺\bar{S}(f,P)-\underset{―}{S}(f,P)<2\epsilon \end{array}$$ 则称$f$在$[a,b]$上Darboux可积。

(5)

零测集：设$D\subseteq \mathbb{R}$，若$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }$可数个区间$\{I_k\}$，使得$$\begin{array}{}\text{(7)}& D\subseteq \bigcup _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{I}_k\wedge \sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}|I_k|<\epsilon \end{array}$$ 则称$D$为零测集。

重要定理回顾

(1)

以下三个命题等价：

• （Riemann）$f$在$[a,b]$上Riemann可积；
• （Darboux）$f$在$[a,b]$上Darboux可积；
• （Lebesgue）$f$在$[a,b]$上有界，且$f$的间断点集是零测集。

(2)

$[a,b]$上的所有连续函数可积，$[a,b]$上的所有单调函数可积。

7.2.2 重积分的概念

重要概念回顾

(1)

矩形：称$$\begin{array}{}\text{(8)}& R=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]=\{(x_1,\cdots ,x_n)\mid a_i\le x_i\le b_i,1\le i\le n\}\end{array}$$ 为${\mathbb{R}}^n$中的一个矩形，则$\mu (R)=|R|:=(b_1-a_1)\cdots (b_n-a_n)$为$R$的$n$维体积。

(2)

划分：称$P:R_1,\cdots ,R_N$为$R$的一个划分，若

• $R=\bigcup _{k=1}^N{R}_k$，其中$R_k$均为矩形；
• $R_i\cap R_j\subseteq \partial R_i\cap \partial R_j$，即两两矩形之间的交集是它们的公共边界。

(3)

Riemann和：设$f:R\to \mathbb{R}$，选定$R_k$的代表元${\xi }_k\in R_k$，则$f$在$R$上的Riemann和为$$\begin{array}{}\text{(9)}& S(f,P,\xi )=\sum _{k=1}^{N}f({\xi }_k)\mu (R_k)\end{array}$$ 称$f$在$R$上Riemann可积，若$\mathrm{\exists }I\in \mathbb{R}$，使得$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }{\delta }_{\epsilon }>0$，使得对任意划分$P=\{R_k\mid 1\le k\le N\}$，$$\begin{array}{}\text{(10)}& \underset{1\le k\le n}{max}\underset{x,y\in R_k}{sup}\parallel x-y\parallel <{\delta }_{\epsilon }⟹\mathrm{\forall }\xi =\{{\xi }_k\mid {\xi }_k\in R_k\},|S(f,P,\xi )-I|<\epsilon \end{array}$$ $f$在$R$上的Riemann积分记作$$\begin{array}{}\text{(11)}& I={\int }_{R}f(x)\mathrm{d}\mu (x)\end{array}$$ 当$n>1$时，该Riemann积分又称为（$n$）重积分。

(4)

Darboux和：设$f:R\to \mathbb{R}$，定义$$\begin{array}{}\text{(12)}& \bar{S}(f,P)=\sum _{k=1}^N\underset{x\in R_k}{sup}f(x)\mu (R_k),\underset{―}{S}(f,P)=\sum _{k=1}^N\underset{x\in R_k}{inf}f(x)\mu (R_k)\end{array}$$ $f$在$R$上Darboux可积若……。

(5)

Jordan可测：称$D\subseteq {\mathbb{R}}^n$为Jordan可测集，若$\partial D$为零测集，即$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }$可数个矩形$\{R_k\}$，使得$$\begin{array}{}\text{(13)}& \partial D\subseteq \bigcup _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{R}_k\wedge \sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\mu (R_k)<\epsilon \end{array}$$

(6)

Jordan可测集上的积分：设$D$为有界闭的Jordan可测集，$f:D\to \mathbb{R}$。令矩形$R\subseteq {\mathbb{R}}^n$满足$D\subseteq R$，定义函数$$\begin{array}{}\text{(14)}& f_R=\{\begin{array}{ll}f(x),& x\in D\\ 0,& x\in R\setminus D\end{array}\end{array}$$ 若$f_R$在$R$上可积，则称$f$在$D$上可积，且$$\begin{array}{}\text{(15)}& {\int }_{D}f(x)\mathrm{d}\mu (x)={\int }_R{f}_R(x)\mathrm{d}\mu (x)\end{array}$$

重要定理回顾

(1)

以下三个命题等价：

• （Riemann）$f$在$R$上Riemann可积；
• （Darboux）$f$在$R$上Darboux可积；
• （Lebesgue）$f$在$R$上有界，且$f$的间断点集是零测集。

(2)

$R$上的所有连续函数可积。

(3)

若$D$为有界闭集且$\partial D$为零测集，则$D$上的所有连续函数可积。

(4)

示性函数$$\begin{array}{}\text{(16)}& 1_D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in D\\ 0,& x\notin D\end{array}\end{array}$$ 在$D$上可积，且$$\begin{array}{}\text{(17)}& {\int }_D{1}_D(x)\mathrm{d}\mu (x)=\mu (D)\end{array}$$

(5)

重积分的性质：令$\mathcal{R}(D)$表示$D$上所有Riemann可积函数的集合，则

• 线性：$\mathcal{R}(D)$是一个线性空间，即$\mathrm{\forall }f,g\in \mathcal{R}(D)$，$\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$，都有$\alpha f+\beta g\in \mathcal{R}(D)$，且成立$$\begin{array}{}\text{(18)}& {\int }_D(\alpha f+\beta g)(x)\mathrm{d}\mu (x)=\alpha {\int }_{D}f(x)\mathrm{d}\mu (x)+\beta {\int }_{D}g(x)\mathrm{d}\mu (x)\end{array}$$
• 保号性：设$f,g\in \mathcal{R}(D)$，若$f(x)\le g(x)$，则$$\begin{array}{}\text{(19)}& {\int }_{D}f(x)\mathrm{d}\mu (x)\le {\int }_{D}g(x)\mathrm{d}\mu (x)\end{array}$$
• 区域可加性：设$D_1,D_2\subseteq {\mathbb{R}}^n$，$D=D_1\cup D_2$，且$D_1\cap D_2=\varnothing$，则$$\begin{array}{}\text{(20)}& {\int }_{D}f(x)\mathrm{d}\mu (x)={\int }_{D_1}f(x)\mathrm{d}\mu (x)+{\int }_{D_2}f(x)\mathrm{d}\mu (x)\end{array}$$
• 三角不等式：$f\in \mathcal{R}(D)⟺|f|\in \mathcal{R}(D)$，且成立$-|f|\le f\le |f|$，故$$\begin{array}{}\text{(21)}& |{\int }_{D}f(x)\mathrm{d}\mu (x)|\le {\int }_D|f(x)|\mathrm{d}\mu (x)\end{array}$$
• Cauchy-Schwarz不等式：设$f,g\in \mathcal{R}(D)$，则$fg\in \mathcal{R}(D)$，且成立$$\begin{array}{}\text{(22)}& |{\int }_{D}f(x)g(x)\mathrm{d}\mu (x)|\le {({\int }_D|f(x){|}^2\mathrm{d}\mu (x))}^{1/2}{({\int }_D|g(x){|}^2\mathrm{d}\mu (x))}^{1/2}\end{array}$$
• 积分中值定理：设$D$为连通集，$g\in \mathcal{R}(D)$且$g(x)\ge 0$，$f\in \mathcal{C}(D)$，则$\mathrm{\exists }\xi \in D$，使得$$\begin{array}{}\text{(23)}& {\int }_{D}f(x)g(x)\mathrm{d}\mu (x)=f(\xi ){\int }_{D}g(x)\mathrm{d}\mu (x)\end{array}$$ 若下式中分母不为零，则有$$\begin{array}{}\text{(24)}& f(\xi )=\frac{{\int }_{D}f(x)g(x)\mathrm{d}\mu (x)}{{\int }_{D}g(x)\mathrm{d}\mu (x)}\end{array}$$ 称为$f$在$D$上关于$g$的（加权）平均值。

7.2.3 重积分的计算

计算重积分的基本方法：

• 将集合$D$和函数$f$分解为简单的部分；
• 换元以化简$D$或$f$；
• 降低重数（维数）到一元积分或累次积分；
• 数值积分法、Monte Carlo方法等。

重要定理回顾 （Fubini）若$D$为有界闭的Jordan可测集，$f\in \mathcal{R}(D)$，$D\subseteq [a,b]\times {\mathbb{R}}^{n-1}$，则$\mathrm{\forall }x\in [a,b]$，${\int }_{I_x}f(x,y)\mathrm{d}y$存在，其中$I_x=\{y\in {\mathbb{R}}^{n-1}\mid (x,y)\in D\}$，且$$\begin{array}{}\text{(25)}& {\int }_{D}f\mathrm{d}\mu ={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{I_x}f(x,y)\mathrm{d}y\end{array}$$

应用

(1)

证明：$$\begin{array}{}\text{(26)}& {\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_x^1{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y=\frac{1}{2}(1-{\mathrm{e}}^{-1})\end{array}$$

(2)

设$D$为三个圆柱$x^2+y^2=1$、$y^2+z^2=1$、$z^2+x^2=1$所围成的有界闭区域，证明：$$\begin{array}{}\text{(27)}& {\int }_D\mathrm{d}\mu =16-8\sqrt{2}\end{array}$$

(3)

积分换序练习。设$D=\{(x,y)\mid x+y\le 1,y-x\le 1,y\ge 0\}$，证明：$$\begin{array}{}\text{(28)}& {\int }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_{y-1}^{1-y}f(x,y)\mathrm{d}x={\int }_{-1}^1\mathrm{d}x{\int }_0^{1-|x|}f(x,y)\mathrm{d}y\end{array}$$ 设$D=\{(x,y)\mid |x|\le 1,0\le y\le 2\}$，证明：$$\begin{array}{}\text{(29)}& \begin{array}{rl}& {\int }_D|y-x^2|\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{-1}^1\mathrm{d}x[{\int }_0^{x^2}(x^2-y)\mathrm{d}y+{\int }_{x^2}^2(y-x^2)\mathrm{d}y]\\ & ={\int }_0^2\mathrm{d}y{\int }_{max\{-1,-\sqrt{y}\}}^{min\{1,\sqrt{y}\}}(y-x^2)\mathrm{d}x+{\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_{-1}^{-\sqrt{y}}(x^2-y)\mathrm{d}x+{\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_{\sqrt{y}}^1(x^2-y)\mathrm{d}x\end{array}\end{array}$$ 证明：$$\begin{array}{}\text{(30)}& {\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}x{\int }_0^{\sin x}f(x,y)\mathrm{d}y={\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_{\arcsin y}^{\pi -\arcsin y}f(x,y)\mathrm{d}x-{\int }_{-1}^0\mathrm{d}y{\int }_{\pi -\arcsin y}^{2\pi +\arcsin y}f(x,y)\mathrm{d}x\end{array}$$

(4)

设$D_1,D_2$是由$z=x+1$、$z=0$、$x^2+y^2=4$围成的两个有界闭区域，证明：$$\begin{array}{}\text{(31)}& \begin{array}{rl}{D}_1:\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\le 4\\ 0\le z\le x+1\end{array},& {\int }_{D_1}\mathrm{d}\mu =3\sqrt{3}+\frac{8\pi }{3}\\ D_2:\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\le 4\\ x+1\le z\le 0\end{array},& {\int }_{D_2}\mathrm{d}\mu =3\sqrt{3}-\frac{4\pi }{3}\end{array}\end{array}$$

注 积分是从右向左计算的！例如$$\begin{array}{}\text{(32)}& {\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)\mathrm{d}y={\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x,g(x)={\int }_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)\mathrm{d}y\end{array}$$

7.2.4 重积分的换元

重要定理回顾 设$\mathrm{\Omega }$为有界闭的Jordan可测集，$f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$；$D$为有界闭的Jordan可测集，$\phi :D\to \mathrm{\Omega }$是${\mathcal{C}}^1$的微分同胚（${\mathcal{C}}^1$的可逆坐标变换），则在点$P_0$附近有$$\begin{array}{}\text{(33)}& \frac{\mu (R_k)}{\mu (D_k)}=|det\partial \phi (P_0)|\end{array}$$ 因此$$\begin{array}{}\text{(34)}& {\int }_{\mathrm{\Omega }}f(y)\mathrm{d}\mu (y)={\int }_{D}f(\phi (x))|det\partial \phi (x)|\mathrm{d}\mu (x)\end{array}$$

应用

(1)

常用坐标系的体积元：

• 极坐标系：$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$；
• 柱坐标系：$\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$；
• 球坐标系：$\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=r^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta$。

(2)

设$D\subseteq {\mathbb{R}}^2$为有界闭的Jordan可测集，满足$(x,y)\in D⟹(x,-y)\in D$；函数$f:D\to {\mathbb{R}}^2$满足$f(x,-y)=f(x,y)$。记$D_1=\{(x,y)\in D\mid y\ge 0\}$、$D_2=\{(x,y)\in D\mid y\le 0\}$，证明：$$\begin{array}{}\text{(35)}& {\int }_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{D_2}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

(3)

设$D=\{(x_1,x_2)\mid 1\le x_1^2-x_2^2\le 3,1\le x_1{x}_2\le 2,x_1\ge 0,x_2\ge 0\}$，利用换元$\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1^2-x_2^2\\ y_2=x_1{x}_2\end{array}$证明：$$\begin{array}{}\text{(36)}& {\int }_D(x_1^2+x_2^2)\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2=1\end{array}$$

(4)

设$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le x+y\}$，利用极坐标换元证明¹：$$\begin{array}{}\text{(37)}& {\int }_D\frac{x+y}{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pi \end{array}$$

(5)

设$D=\{(x_1,\cdots ,x_m)\mid x_1+\cdots +x_m\le a,x_i\ge 0\}$，利用换元$y_k=\sum _{i=1}^k{x}_i$证明：$$\begin{array}{}\text{(38)}& I={\int }_{D}f(x_1+\cdots +x_m)\mathrm{d}{x}_1\cdots \mathrm{d}{x}_m=\frac{1}{(m-1)!}{\int }_0^{a}f(y)y^{m-1}\mathrm{d}y\end{array}$$

(6)

设$\mu \in {\mathbb{R}}^m$，$\mathrm{\Sigma }$为$m$阶实对称正定矩阵，利用谱分解换元证明：$$\begin{array}{}\text{(39)}& {\int }_{{\mathbb{R}}^m}\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^{m}det\mathrm{\Sigma }}}\exp [-\frac{1}{2}(x-\mu {)}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(x-\mu )]\mathrm{d}{x}_1\cdots \mathrm{d}{x}_m=1\end{array}$$

(7)

质心：设$\mathrm{\Omega }\subseteq {\mathbb{R}}^m$，其密度分布函数为$\rho :\mathrm{\Omega }\to [0,+\mathrm{\infty })$，则其质心$\bar{x}$满足$$\begin{array}{}\text{(40)}& \bar{x}=\frac{{\int }_{\mathrm{\Omega }}x\rho (x)\mathrm{d}\mu (x)}{{\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho (x)\mathrm{d}\mu (x)}\end{array}$$

(8)

设$\mathrm{\Omega }=\{(x_1,\cdots ,x_m)\in {\mathbb{R}}^m\mid x_m\ge 0,x_1^2+\cdots +x_m^2\le R^2\}$，其质量均匀分布，则$\mathrm{\Omega }$的质心$\bar{x}$满足：$$\begin{array}{}\text{(41)}& {\bar{x}}_m=\frac{{\int }_{\mathrm{\Omega }}x\rho (x)\mathrm{d}\mu (x)}{{\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho (x)\mathrm{d}\mu (x)}=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m+2}{2}\right)}{(m+1)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m+1}{2}\right)}R\end{array}$$

(9)

期望：设$(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathrm{P})$为概率空间，$X:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$为随机变量，则其概率密度函数的定义为$$\begin{array}{}\text{(42)}& f(x)=\underset{r\to 0^{+}}{lim}\frac{\mathrm{P}(X\in \mathrm{\Omega }\cap \mathrm{B}(x,r))}{\mu (\mathrm{\Omega }\cap \mathrm{B}(x,r))}\end{array}$$ 其期望为$$\begin{array}{}\text{(43)}& \mathbb{E}[X]={\int }_{\mathrm{\Omega }}X\mathrm{d}P={\int }_{\mathbb{R}}x\underset{\mathrm{d}P(x)}{\underbrace{f(x)\mathrm{d}\mu (x)}}\end{array}$$

(10)

在$\mathrm{U}(0,1)$（$[0,1]$均匀分布）上取$n$个独立随机变量$X_1,\cdots ,X_n$，则其最小值的期望为${\bar{x}}_{\min }=\frac{1}{n+1}$。

(11)

证明万有引力定律对质量均匀分布的球体同样适用，即证明：$$\begin{array}{}\text{(44)}& \mathit{F}={\int }_{x^2+y^2+z^2\le R^2}\frac{GM\rho \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}{{[x^2+y^2+(z-a{)}^2]}^{3/2}}(x,y,z-a{)}^{\mathrm{T}}=-\frac{GM\rho }{a^2}\frac{4\pi }{3}{R}^3{\mathit{e}}_3\end{array}$$

(12)

证明有心力场的（广义）Kepler第二定律。设质点在平面上的运动轨迹为$\mathit{u}:[a,b]\to {\mathbb{R}}^2$，其中$\mathit{u}(t)=(x_1(t),x_2(t))$。设$\mathrm{\Omega }$为行星与恒星连线在$t\in [a,b]$内扫过的面积，令$(x_1,x_2)=s\mathit{u}(t)$，则有$$\begin{array}{}\text{(45)}& det\frac{\partial (x_1,x_2)}{\partial (s,t)}=det(s{\mathit{u}}^{\prime }(t),\mathit{u}(t))=sdet({\mathit{u}}^{\prime }(t),\mathit{u}(t))\end{array}$$ 因此$\mathrm{\Omega }$的面积为$$\begin{array}{}\text{(46)}& A={\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2={\int }_{[a,b]\times [0,1]}|det\frac{\partial (x_1,x_2)}{\partial (s,t)}|\mathrm{d}s\mathrm{d}t=\frac{1}{2}{\int }_a^b|det({\mathit{u}}^{\prime }(t),\mathit{u}(t))|\mathrm{d}t\end{array}$$ 由$[a,b]$的任意性可得$$\begin{array}{}\text{(47)}& A=\mathrm{const}⟺det({\mathit{u}}^{\prime }(t),\mathit{u}(t))=0\end{array}$$ 因此$$\begin{array}{}\text{(48)}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[det({\mathit{u}}^{\prime }(t),\mathit{u}(t))]=det({\mathit{u}}^{″}(t),\mathit{u}(t))=0\end{array}$$ 故${\mathit{u}}^{″}(t)$与$\mathit{u}(t)$共线，即为有心力场。

7.2.5 补充：利用不等式方法确定积分域和积分限

许多重积分的区域是由$n$个曲面（包括平面）所围成的有界区域表示的，我们首先需要确定该区域对应的不等式表示。理论上，我们需要依次分析$2^n$个不等式组的解集是否有界，但可以通过观察减少搜索范围。以${\mathbb{R}}^3$为例，常见的剪枝方法为：

得到不等式给出的积分区域后，我们还需要将积分域表示为积分限的形式，实质就是解不等式。设积分顺序为$x_1\to x_2\to \cdots \to x_m$。

(1)

用不等式表示有界区域$D$。

(2)

对于自变量$x_i$满足的$k_i$个不等式，依次解出它们的显式形式，即$$\begin{array}{}\text{(49)}& f_{ij}({\mathit{x}}_i^{\ast })\le x_i\le g_{ij}({\mathit{x}}_i^{\ast }),i=1,2,\cdots ,m,j=1,2,\cdots ,k_i\end{array}$$ 其中${\mathit{x}}_i^{\ast }=(x_1,\cdots ,x_{i-1},x_{i+1},\cdots ,x_m{)}^{\mathrm{T}}$表示去掉$x_i$的自变量向量。如果解出来的不等式不能表示为上面的“类区间形式”，意味着积分区域需要分块。

(3)

由此得到所有自变量满足的显式不等式，亦即$$\begin{array}{}\text{(50)}& max\{f_{i1}({\mathit{x}}_i^{\ast }),\cdots ,f_{i{k}_i}({\mathit{x}}_i^{\ast })\}\le x_i\le min\{g_{i1}({\mathit{x}}_i^{\ast }),\cdots ,g_{i{k}_i}({\mathit{x}}_i^{\ast })\},i=1,2,\cdots ,m\end{array}$$ 方便起见，将上式改写为$$\begin{array}{}\text{(51)}& f_i({\mathit{x}}_i^{\ast })\le x_i\le g_i({\mathit{x}}_i^{\ast }),i=1,2,\cdots ,m\end{array}$$

(4)

若$i=1$，则$x_1$的积分区域为$U_1({\mathit{x}}_1^{+})=[f_1({\mathit{x}}_1^{\ast }),g_1({\mathit{x}}_1^{\ast })]$，其中${\mathit{x}}_i^{+}=(x_{i+1},\cdots ,x_m{)}^{\mathrm{T}}$表示去掉在$x_i$之前（含自身）积分的自变量向量，因为后积分的自变量区域不能与先积分的自变量有关。

(5)

若$1<i\le m$，记前$i-1$个自变量的积分区域为$$\begin{array}{}\text{(52)}& {\mathit{x}}_{i-1}\in \{(x_1,\cdots ,x_{i-1}{)}^{\mathrm{T}}|x_j\in U_j({\mathit{x}}_j^{+}),j=1,2,\cdots ,i-1\}=D_{i-1}\end{array}$$ 则$x_i$的积分区域$U_i$为在原有不等式$f_i({\mathit{x}}_i^{\ast })\le x_i\le g_i({\mathit{x}}_i^{\ast })$的基础上，消去${\mathit{x}}_{i-1}$后得到的新不等式$$\begin{array}{}\text{(53)}& x_i\in U_i({\mathit{x}}_i^{+}):\underset{{\mathit{x}}_{i-1}\in D_{i-1}}{min}{f}_i({\mathit{x}}_i^{\ast })\le x_i\le \underset{{\mathit{x}}_{i-1}\in D_{i-1}}{max}{g}_i({\mathit{x}}_i^{\ast })\end{array}$$

(6)

最终的积分限可表示为$$\begin{array}{}\text{(54)}& {\int }_{x_m\in U_m}\mathrm{d}{x}_m{\int }_{x_{m-1}\in U_{m-1}(x_m)}\mathrm{d}{x}_{m-1}\cdots {\int }_{x_2\in U_2(x_3,x_4,\cdots ,x_m)}\mathrm{d}{x}_2{\int }_{x_1\in U_1(x_2,x_3,\cdots ,x_m)}\mathrm{d}{x}_1\end{array}$$

解 对于$D_1$，先对$x$积分可得$$\begin{array}{}\text{(56)}& D_1:\{\begin{array}{l}max\{0,\sqrt{y}\}\le x\le 1\\ 0\le y\le x^2\end{array}⟹\{\begin{array}{l}0\le y\le 1\\ \sqrt{y}\le x\le 1\end{array}\end{array}$$ 对于$D_2$，先对$x$积分可得$$\begin{array}{}\text{(57)}& D_2:\{\begin{array}{l}1\le x\le min\{3,3-2y\}\\ 0\le y\le \frac{3-x}{2}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}0\le y\le 1\\ 1\le x\le 3-2y\end{array}\end{array}$$ 因此$$\begin{array}{}\text{(58)}& D=D_1\cup D_2:\{\begin{array}{l}0\le y\le 1\\ \sqrt{y}\le x\le 3-2y\end{array}\end{array}$$ $◻$

解 首先确定各不等式的符号（$\ge$还是$\le$）。我们从$z$入手，必有$0\le z\le 1+x+y$或$1+x+y\le z\le 0$之一成立。

对于$1+x+y\le z\le 0$，此时有$x+y\le -1\le 1$（已确定3个符号）。

• 若$x\ge 0$，则$-\mathrm{\infty }\leftarrow y\le -1\le 0$，$D$无界。
• 若$x\le 0$，则根据边界$y=0$，必有$0\le y\le -1-x\to +\mathrm{\infty }$或$-\mathrm{\infty }\leftarrow y\le min\{0,-1-x\}$之一成立，$D$均无界。

故这种情况不成立。

对于$0\le z\le 1+x+y$，有$x+y\ge -1$，结合$x+y=1$可得$-1\le x+y\le 1$（已确定3个符号）。

• 若$x\le 0$，则$-1\le -1-x\le y\le 1-x\to +\mathrm{\infty }$，$D$无界。
• 若$x\ge 0$，则$-1-x\le y\le 1-x\le 1$。根据边界$y=0$，必有$-\mathrm{\infty }\leftarrow -1-x\le y\le 0$或$0\le y\le 1-x\le 1$之一成立，前者$D$无界，后者$D$有界。

由此我们定出了所有不等式的符号：$0\le z\le 1+x+y$、$x+y\le 1$、$x\ge 0$、$y\ge 0$。

(2) 显然，形式最简单的积分次序为：$$\begin{array}{}\text{(59)}& D:\{\begin{array}{l}0\le x\le 1\\ 0\le y\le 1-x\\ 0\le z\le 1+x+y\end{array}=\{\begin{array}{l}0\le y\le 1\\ 0\le x\le 1-y\\ 0\le z\le 1+x+y\end{array}\end{array}$$ 即先对$z$积分，再对$y$（或$x$）积分，最后对$x$（或$y$）积分。

(1) 如先对$x$积分，则有$max\{0,z-1-y\}\le x\le 1-y$，此时$y$满足$$\begin{array}{}\text{(60)}& max\{0,y+z-2\}\le max\{0,z-1-x\}\le y\le 1-x\le 1+min\{0,y-z+1\}\end{array}$$ 解得$$\begin{array}{}\text{(61)}& \{\begin{array}{l}0\le y\le 1\\ y+z-2\le y\le y-z+2\end{array}⟹\{\begin{array}{l}0\le y\le 1\\ z\le 2\end{array}\end{array}$$ 因此$$\begin{array}{}\text{(62)}& D:\{\begin{array}{l}0\le z\le 2\\ 0\le y\le 1\\ max\{0,z-1-y\}\le x\le 1-y\end{array}\end{array}$$ 如需去掉$\max$，还需要分$0\le y\le z-1$和$z-1\le y\le 1$两种情况讨论，前者需要$z\ge 1$成立，故需要分为3个区域：$$\begin{array}{}\text{(63)}& D:\{\begin{array}{l}0\le z\le 1\\ 0\le y\le 1\\ 0\le x\le 1-y\end{array}\cup \{\begin{array}{l}1\le z\le 2\\ 0\le y\le z-1\\ z-1-y\le x\le 1-y\end{array}\cup \{\begin{array}{l}1\le z\le 2\\ z-1\le y\le 1\\ 0\le x\le 1-y\end{array}\end{array}$$ $◻$

解 类似例 7.2.4，我们从$z$入手，得到$0\le z\le a-x-y$。

• 若$x\le 0$，则$y\le a-x-z\le a-x\to +\mathrm{\infty }$，$D$无界。
• 若$y\le 0$，则由$x,y$的对称性可知$D$无界。
• 若$x\ge 0$且$y\ge 0$，则有$0\le x\le a$、$0\le y\le a$，$D$有界。

因此$x\ge 0$且$y\ge 0$。

若$x^2+y^2\le R^2$，则$a-x-y\ge a-\sqrt{2(x^2+y^2)}\ge a-\sqrt{2}R>0$，故有$0\le y\le \sqrt{R^2-x^2}$、$0\le x\le \sqrt{R^2-y^2}\le R$，因此$$\begin{array}{}\text{(64)}& D:\{\begin{array}{l}0\le x\le R\\ 0\le y\le \sqrt{R^2-x^2}\\ 0\le z\le a-x-y\end{array}\end{array}$$ 如使用柱坐标系，则有$x=r\cos \theta \ge 0\wedge y=r\sin \theta \ge 0⟹0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$，$r^2=x^2+y^2\le R^2⟹r\le R$。因此$$\begin{array}{}\text{(65)}& D:\{\begin{array}{l}0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\\ 0\le r\le R\\ 0\le z\le a-r(\cos \theta +\sin \theta )\end{array}\end{array}$$

若$x^2+y^2\ge R^2$，则当$0\le x\le R$时有$0\le \sqrt{R^2-x^2}\le y\le a-x-z\le a-x$，当$R\le x\le a$时有$0\le y\le a-x-z\le a-x$，故需要分为2个区域：$$\begin{array}{}\text{(66)}& D:\{\begin{array}{l}0\le x\le R\\ \sqrt{R^2-x^2}\le y\le a-x\\ 0\le z\le a-x-y\end{array}\cup \{\begin{array}{l}R\le x\le a\\ 0\le y\le a-x\\ 0\le z\le a-x-y\end{array}\end{array}$$ 如使用柱坐标系，则仍有$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$，$r^2=x^2+y^2\ge R^2\wedge x+y=r(\cos \theta +\sin \theta )\le a-z\le a⟹R\le r\le \frac{a}{\cos \theta +\sin \theta }$。因此$$\begin{array}{}\text{(67)}& D:\{\begin{array}{l}0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\\ R\le r\le \frac{a}{\cos \theta +\sin \theta }\\ 0\le z\le a-r(\cos \theta +\sin \theta )\end{array}\end{array}$$ $◻$

解 最简单的改变方式是对换$x,y$，此处从略。将$D$改写为$$\begin{array}{}\text{(69)}& D:\{\begin{array}{l}max\{0,z-y\}\le x\le min\{1,1-y\}=1-y\\ max\{0,z-x\}\le y\le 1-x\\ 0\le z\le x+y\end{array}\end{array}$$ 先对$x$积分：$max\{0,z-y\}\le x\le 1-y$，此时$y$满足$$\begin{array}{}\text{(70)}& max\{0,y+z-1\}\le max\{0,z-x\}\le y\le 1-x\le 1+min\{0,y-z\}\end{array}$$ 解得$$\begin{array}{}\text{(71)}& \{\begin{array}{l}0\le y\le 1\\ y+z-1\le y\le y-z+1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}0\le y\le 1\\ z\le 1\end{array}\end{array}$$ 因此$$\begin{array}{}\text{(72)}& D:\{\begin{array}{l}0\le z\le 1\\ 0\le y\le 1\\ max\{0,z-y\}\le x\le 1-y\end{array}\end{array}$$ 如需去掉$\max$，还需要分$0\le y\le z$和$z\le y\le 1$两种情况讨论，故需要分为2个区域：$$\begin{array}{}\text{(73)}& D:\{\begin{array}{l}0\le z\le 1\\ 0\le y\le z\\ z-y\le x\le 1-y\end{array}\cup \{\begin{array}{l}0\le z\le 1\\ z\le y\le 1\\ 0\le x\le 1-y\end{array}\end{array}$$ $◻$

7.2.6 补充：三维空间中的重积分计算

二重积分：画线法

二重积分的积分区域可以很方便地画出来，此时可借助画线法来确定积分限。如图 7.2.1（左）所示，我们可以

• 垂直于$y$轴画线（$y$的等值线），先确定$y$的值，意味着最后对$y$积分；
• 上下平移该线即可得到$y$的取值范围$[y_1,y_2]$；
• 画的线与区域的交线就是$x$的积分限$[x_1(y),x_2(y)]$，为关于$y$的函数。