9.2 知识点复习

9.2.1 Green公式

重要概念回顾

(1)

旋度：平面${\mathcal{C}}^1$向量场$\mathit{F}=(X,Y{)}^{\mathrm{T}}$的旋度¹定义为$\mathrm{curl}\mathit{F}=\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y}$。

(2)

散度：平面${\mathcal{C}}^1$向量场$\mathit{F}=(X,Y{)}^{\mathrm{T}}$的散度定义为$\mathrm{div}\mathit{F}=\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}$。

(3)

楔积：定义楔积$\wedge$算符为：

• 双线性：$(a\mathrm{d}{x}_1+b\mathrm{d}{x}_2)\wedge \mathrm{d}y=a\mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}y+b\mathrm{d}{x}_2\wedge \mathrm{d}y$。
• 反对称性：$\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=-\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x$。
• 若$\mathrm{\Omega }$的边界$\partial \mathrm{\Omega }$为自然正向，则$\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

(4)

外微分：定义作用在微分形式上的外微分$\mathrm{d}$算符为：$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathrm{d}\omega =\mathrm{d}\sum _{i=1}^n{f}_i\mathrm{d}{x}_i=\sum _{i=1}^n\mathrm{d}{f}_i\wedge \mathrm{d}{x}_i\end{array}$$

重要定理回顾

(1)

Green公式的物理表述：设$\mathrm{\Omega }\subseteq {\mathbb{R}}^2$为平面闭区域，其边界$\partial \mathrm{\Omega }$分段${\mathcal{C}}^1$且前向为自然正向，$\mathit{F}:\mathrm{\Omega }\to {\mathbb{R}}^2$为${\mathcal{C}}^1$向量场，则有

• 散度形式：${\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{div}\mathit{F}\mathrm{d}\sigma ={\oint }_{\partial \mathrm{\Omega }}\mathit{F}\cdot \mathit{n}\mathrm{d}l$。
• 旋度形式：${\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{curl}\mathit{F}\mathrm{d}\sigma ={\oint }_{\partial \mathrm{\Omega }}\mathit{F}\cdot \mathrm{d}\mathit{x}$。

(2)

Green公式的数学表述：${\oint }_{\partial \mathrm{\Omega }}\omega ={\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{d}\omega$，其中$\omega$为一阶微分形式。

(3)

Green公式的展开形式：$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\oint }_{\partial D}(X\mathrm{d}x+Y\mathrm{d}y)={\int }_D(\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

应用

(1)

旋度的物理定义：$\mathrm{curl}\mathit{F}(P_0):=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}\frac{1}{2\pi \epsilon }{\oint }_{\partial B(P_0,\epsilon {)}^{+}}\mathit{F}\cdot \mathrm{d}\mathit{x}$。旋度为零的场称作无旋场。

(2)

散度的物理定义：$\mathrm{div}\mathit{F}(P_0):=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}\frac{1}{\pi {\epsilon }^2}{\oint }_{\partial B(P_0,\epsilon {)}^{+}}⟨\mathit{F},\mathit{n}⟩\mathrm{d}l$。散度为零的场称作无源场。

(3)

对于线性向量场$\mathit{F}(\mathit{x})=A\mathit{x}$，$\mathrm{tr}A=0⟺\mathrm{div}\mathit{F}=0$，$A=A^{\mathrm{T}}⟺\mathrm{curl}\mathit{F}=0$。

(4)

计算：${\int }_{\gamma }[(1+y{\mathrm{e}}^x)\mathrm{d}x+(x+{\mathrm{e}}^x)\mathrm{d}y]$，其中$\gamma$为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上的椭圆弧，从$(a,0)$逆时针旋转到$(-a,0)$，$a,b>0$。

注

(1)

借助$\mathrm{\nabla }=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$，则旋度和散度可表示为$\mathrm{curl}\mathit{F}=\mathrm{\nabla }\times \mathit{F}$、$\mathrm{div}\mathit{F}=\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{F}$。

(2)

注意到$\mathrm{div}\mathit{F}=\mathrm{tr}\frac{\partial (X,Y)}{\partial (x,y)}$，表明散度与坐标系的选取无关。

(3)

可以验证：$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}\mathrm{d}(⟨\mathit{F},\mathit{T}⟩\mathrm{d}l)& =\mathrm{d}(X\mathrm{d}x+Y\mathrm{d}y)=(\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y})\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=\mathrm{curl}\mathit{F}\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\\ \mathrm{d}(⟨\mathit{F},\mathit{n}⟩\mathrm{d}l)& =\mathrm{d}(-Y\mathrm{d}x+X\mathrm{d}y)=(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y})\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=\mathrm{div}\mathit{F}\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\end{array}\end{array}$$

9.2.2 恰当方程与积分因子

我们主要研究以下方程：$$\begin{array}{}\text{(4)}& P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0\end{array}$$ 称以上方程为恰当方程，若存在$u(x,y)$，使得$$\begin{array}{}\text{(5)}& \frac{\partial u}{\partial x}=P,\frac{\partial u}{\partial y}=Q⟺\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y\end{array}$$ 此时原方程的通解为$u(x,y)=C$，其中$C$为任意常数。判定恰当方程只需要验证无旋条件是否成立：$$\begin{array}{}\text{(6)}& \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\end{array}$$

如果原方程不是恰当方程，则可以引入积分因子$\mu (x,y)$，使得$$\begin{array}{}\text{(7)}& \mu P\mathrm{d}x+\mu Q\mathrm{d}y=0\end{array}$$ 为恰当方程。此时，$\mu$应满足$$\begin{array}{}\text{(8)}& \frac{\partial (\mu P)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu Q)}{\partial x}\end{array}$$ 通常情况下，求解以上关于$\mu$的方程并不会比求解原方程更简单，但是有时候可以通过观察得到$\mu$的形式（如只与$x$有关等），因为我们只需要$\mu$的一个特解。

在已知方程恰当后，如不便凑出全微分，可以通过直接积分的方法求解。设恰当方程$$\begin{array}{}\text{(9)}& P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0\end{array}$$ 则方程的通解$f(x,y)=C$满足$$\begin{array}{}\text{(10)}& f(x,y)=f(x_0,y_0)+{\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}[P(\xi ,\eta )\mathrm{d}\xi +Q(\xi ,\eta )\mathrm{d}\eta ]\end{array}$$ 其中起点、路径可以任意选择，比如沿折线段$(x_0,y_0)\to (x_0,y)\to (x,y)$、沿线段$(x_0,y_0)\to (x,y)$等。

9.2.3 第二型曲面积分

第二型曲面积分作用在${\mathbb{R}}^3$中的曲面上：$$\begin{array}{}\text{(11)}& \mathrm{\Sigma }=\left\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\right|\begin{array}{c}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\end{array}\}\end{array}$$ 作用的函数是一个向量场$\mathit{F}$，其物理意义是通量，如图9.2.1所示。

重要概念回顾

(1)

可定向曲面：称曲面$\mathrm{\Sigma }$是可定向曲面，若$\mathrm{\Sigma }$的法向量场$\mathit{n}:\mathrm{\Sigma }\to {\mathbb{R}}^3$是连续的。

(2)

第二型曲面积分：设$(\mathrm{\Sigma },\mathit{n})$是可定向曲面，向量场$\mathit{F}:\mathrm{\Sigma }\to {\mathbb{R}}^3$连续，则$\mathit{F}$沿曲面$(\mathrm{\Sigma },\mathit{n})$的第二型曲面积分定义为$$\begin{array}{}\text{(12)}& {\int }_{\mathrm{\Sigma }}⟨\mathit{F},\mathit{n}⟩\mathrm{d}\sigma \end{array}$$ 注意到$$\begin{array}{}\text{(13)}& \mathit{n}(\mathit{x})\mathrm{d}\sigma =\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathit{x}}{\partial v}\mathrm{d}u\mathrm{d}v=[det\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}\hat{i}+det\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}\hat{j}+det\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\hat{k}]\mathrm{d}u\mathrm{d}v\end{array}$$ 因此$$\begin{array}{}\text{(14)}& {\int }_{\mathrm{\Sigma }}⟨\mathit{F},\mathit{n}⟩\mathrm{d}\sigma ={\int }_D⟨\mathit{F},\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathit{x}}{\partial v}⟩\mathrm{d}u\mathrm{d}v={\int }_{D}det(\mathit{F},\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u},\frac{\partial \mathit{x}}{\partial v})\mathrm{d}u\mathrm{d}v\end{array}$$ 上式的物理意义如图9.2.2所示，为$\mathit{F},\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u}\mathrm{d}u,\frac{\partial \mathit{x}}{\partial v}\mathrm{d}v$构成的（微元）平行六面体的体积。

(3)

楔积与外微分：在直角坐标系中，定义$$\begin{array}{}\text{(15)}& \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=det\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\end{array}$$ 则有$\mathit{n}=(\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z,\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x,\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y{)}^{\mathrm{T}}$。设$\mathit{F}=(X,Y,Z{)}^{\mathrm{T}}$，则原积分可改写为$$\begin{array}{}\text{(16)}& {\int }_{\mathrm{\Sigma }}⟨\mathit{F},\mathit{n}⟩\mathrm{d}\sigma ={\int }_{\mathrm{\Sigma }}(X\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+Y\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+Z\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y)={\int }_{\mathrm{\Sigma }}\omega \end{array}$$ 其中$\omega =X\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+Y\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+Z\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$称作二阶微分形式。

楔积的几何意义如图9.2.3所示。如果法向量$\mathit{n}$在$\hat{k}$上的投影与$\hat{i}\times \hat{j}$同向（即$\mathit{n}\cdot (\hat{i}\times \hat{j})>0$），则$\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其余情况同理。

(4)

楔积与外微分的运算法则：设$\alpha$为$p$阶微分形式、$\beta ,\gamma$为$q$阶微分形式，则

• $\mathrm{d}{x}^i\wedge \mathrm{d}{x}^i=0$，$\mathrm{d}{x}^i\wedge \mathrm{d}{x}^j=-\mathrm{d}{x}^j\wedge \mathrm{d}{x}^i$。
• $\mathrm{d}(\beta +\gamma )=\mathrm{d}\beta +\mathrm{d}\gamma$。
• $\mathrm{d}(\alpha \wedge \beta )=\mathrm{d}\alpha \wedge \beta +(-1{)}^p\alpha \wedge \mathrm{d}\beta$。
• $\mathrm{d}(\mathrm{d}\alpha )=0$。

重要定理回顾 第二型曲面积分关于$\mathit{F}$满足线性，关于$\mathrm{\Sigma }$满足可加性。

应用

(1)

球面是可定向的，轮胎面是可定向的，Möbius带是不可定向的。

(2)

设曲面$\mathrm{\Sigma }:z=x^2+y^2(z\le 1)$，法向量$\mathit{n}$的$z$分量指向$-z$方向，计算：${\int }_{\mathrm{\Sigma }}x\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z$。

(3)

设曲面$\mathrm{\Sigma }:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，法向量$\mathit{n}$朝外，证明：${\int }_{\mathrm{\Sigma }}(x\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y)=4\pi abc$。

(4)

设曲面$\mathrm{\Sigma }:z=1-x^2-y^2(z\ge 0)$，$\mathit{n}$的$z$分量指向$+z$方向，计算：${\int }_{\mathrm{\Sigma }}[(x^2-z)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y+(z^2-y)\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x]$。

注 由于$\mathit{a}\times \mathit{b}=-\mathit{b}\times \mathit{a}$，因此参数$u,v$的顺序不能随意交换。以球面的参数化（球坐标系$\theta ,\varphi$）为例，如果$\mathit{n}$为球面外法向量，则应有$$\begin{array}{}\text{(17)}& \mathit{n}=\frac{\frac{\partial \mathit{x}}{\partial \theta }\times \frac{\partial \mathit{x}}{\partial \varphi }}{\Vert \frac{\partial \mathit{x}}{\partial \theta }\times \frac{\partial \mathit{x}}{\partial \varphi }\Vert }\end{array}$$