例 6.1.1 (第1题) $$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1-\frac{1}{n})}^{-n}=\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\end{array}$$

(A)

$1$

(B)

${\mathrm{e}}^{-1}$

(C)

$-\mathrm{e}$

(D)

$\mathrm{e}$

例 6.1.2 (第2题) 设$x_1=a>0$，$x_{n+1}=\ln (1+x_n)$（$n\ge 1$），则数列$\{x_n\}$ ____。

(A)

单调减，且收敛

(B)

单调增，且收敛

(C)

单调减，但是不收敛

(D)

单调增，但是不收敛

例 6.1.3 (第3题) $$\begin{array}{}\text{(2)}& \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\ln n}(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{2n-1})=\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\end{array}$$

(A)

$2$

(B)

$1$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{1}{4}$

例 6.1.4 (第4题) $$\begin{array}{}\text{(3)}& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{2x^2+x}-\sqrt{2x^2+1})=\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\end{array}$$

(A)

不存在

(B)

$\frac{-1}{2\sqrt{2}}$

(C)

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

(D)

$\frac{1}{2\sqrt{2}}$

例 6.1.5 (第5题) 点$x_0=0$是函数$f(x)=\frac{\ln (1+{\mathrm{e}}^{2/x})}{\ln (1+{\mathrm{e}}^{1/x})}$的 ____。

(A)

连续点

(B)

可去间断点

(C)

跳跃间断点

(D)

第二类间断点

例 6.1.6 (第6题) $$\begin{array}{}\text{(4)}& \underset{x\to 1}{lim}\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[6]{x}-1}=\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\end{array}$$

(A)

$3$

(B)

$2$

(C)

$1$

(D)

$0$

例 6.1.7 (第7题) $$\begin{array}{}\text{(5)}& \underset{x\to 0}{lim}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{\frac{1}{1-\cos x}}=\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\end{array}$$

(A)

$1$

(B)

${\mathrm{e}}^{-1/3}$

(C)

$-\frac{1}{3}$

(D)

${\mathrm{e}}^{-1}$

例 6.1.8 (第8题) 当$x\to 0^{+}$时，与$\sqrt{x}$等价的无穷小量是 ____。

(A)

$1-{\mathrm{e}}^{\sqrt{x}}$

(B)

$\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$

(C)

$\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$

(D)

$1-\cos \sqrt{x}$

例 6.1.9 (第9题) $$\begin{array}{}\text{(6)}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x})}^x=\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\end{array}$$

(A)

$1$

(B)

$\mathrm{e}$

(C)

${\mathrm{e}}^2$

(D)

${\mathrm{e}}^{-1}$

例 6.1.10 (第10题) 下列极限中，能使用洛必达法则计算的是 ____。

(A)

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+\sin x}{x}$

(B)

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^x+\sin x-\cos x}{x+\cos x}$

(C)

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x{\mathrm{e}}^{-x}}{x+2\sin x}$

(D)

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2\sin x}{x-\sin x}$

例 6.1.11 (第11题) 设函数$f(x)$在区间$(-1,1)$中有定义，且$\underset{x\to 0}{lim}f(x)=0$。以下结论正确的是 ____。

(A)

若$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$，则$f$在$x=0$处可导

(B)

若$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x^2}=0$，则$f$在$x=0$处可导

(C)

若$f$在$x=0$处可导，则$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$

(D)

若$f$在$x=0$处可导，则$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x^2}=0$

例 6.1.12 (第12题) 函数$y=\tan (2\sin x)$在$x=0$的邻域中确定了反函数$x=g(y)$，则$g^{\prime }(0)$= ____。

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{1}{2}$

(C)

$1$

(D)

$2$

例 6.1.13 (第13题) 设方程$x^y=y^x$在$(4,2)$附近确定了一个可微函数$y=y(x)$，则$y^{\prime }(4)$= ____。

(A)

$\frac{2\ln 2+1}{4(\ln 2-1)}$

(B)

$\frac{2\ln 2-1}{4(\ln 2-1)}$

(C)

$\frac{2(\ln 2-1)}{\ln 2-2}$

(D)

$\frac{1}{2}$

例 6.1.14 (第14题) 设$f(0)=0$，则$f(x)$在$x=0$处可导当且仅当 ____。

(A)

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(1-{\mathrm{e}}^x)}{\sqrt{x}}$收敛

(B)

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(1-\cos x)}{x^2}$收敛

(C)

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(2x)-f(x)}{x}$收敛

(D)

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x-\sin x)}{x^3}$收敛

例 6.1.15 (第15题) $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\cos \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$在$x=0$处 ____。

(A)

不连续

(B)

连续但不可导

(C)

可导但导函数不连续

(D)

可导且导函数连续

例 6.1.16 (第16题) 以下结论中，不能由$f(x)-f(0)=\frac{1}{3!}{x}^3+o(x^3)$（$x\to 0$）得到是 ____。

(A)

$f(x)$在$x_0=0$处连续

(B)

$f^{\prime }(0)=0$

(C)

$f^{″}(0)=0$，$f^{‴}(0)=1$

(D)

$x_0=0$不是$f(x)$的极值点

例 6.1.17 (第17题) 设$f(x)=x^3{\mathrm{e}}^x$，则$f(x)$在$x=0$处的4阶导数$f^{(4)}(0)$= ____。

(A)

$36$

(B)

$24$

(C)

$12$

(D)

$6$

例 6.1.18 (第18题) 方程$x^4+x^3+3x^2-100x-1=0$在实轴上恰有 ____个根。

(A)

$1$

(B)

$2$

(C)

$3$

(D)

$4$

例 6.1.19 (第19题) 以下哪个图可能是导函数的图像：____。

(A)

(B)

(C)

(D)

例 6.1.20 (第20题) 函数${\mathrm{e}}^{\sin x}$在$x_0=0$处的带Peano余项的3阶Taylor公式为 ____。

(A)

$1+x+x^2+o(x^3)$

(B)

$1+x+\frac{1}{2}{x}^2+o(x^3)$

(C)

$1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$

(D)

$1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)$

例 6.1.21 (第21题) 下列条件中可以推出数列$\{a_n\}$收敛的是 ____。

(A)

对任意$\epsilon >0$，存在正整数$N$和正整数$p$，使得对任意$n>N$都有$|a_{n+p}-a_n|<\epsilon$

(B)

存在正整数$N$，使得对任意$k\in \{0,1,\cdots ,N-1\}$数列$\{a_{nN+k}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$都收敛

(C)

存在正整数$k$，使得$\{a_n^k{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$收敛

(D)

存在正整数$N$和正整数$T$，使得对任意$n>N$都有$n(a_n-a_{n+T})=T{a}_{n+T}$

例 6.1.22 (第22题) 以下结论不正确的是 ____。

(A)

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{\tan x-\sin x}=1$

(B)

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan (\tan x)-\tan (\sin x)}{\tan x-\sin x}=1$

(C)

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (\tan x)-\sin (\sin x)}{\tan x-\sin x}=1$

(D)

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan (\tan x)-\tan (\sin x)}{\sin (\tan x)-\sin (\sin x)}=1$

例 6.1.23 (第23题) 设$f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$为两个实函数，下列说法不正确的是 ____。

(A)

若$g$连续且$f$单调有界，则$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(f(x))$存在且有限

(B)

若$f$在$\mathbb{R}\cup \{+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }\}$中每一点处的极限都存在且有限，则$f$有界

(C)

若$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=a\in \mathbb{R}$，$\underset{u\to a}{lim}g(u)=b\in \mathbb{R}$，则$\underset{x\to x_0}{lim}g(f(x))=b$

(D)

若$g$连续且$f$有界，则函数$g(f(x))$有界

例 6.1.24 (第24题) 以下正确的结论是 ____。

(A)

若函数$f$在任意一点$x_0\in \mathbb{R}$处的极限都为0，则$f(x)\equiv 0$

(B)

若$f,g$可导，$g^{\prime }(x)\ne 0$、$\underset{x\to 0}{lim}f(x)=\underset{x\to 0}{lim}g(x)=0$、$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，则$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=0$

(C)

设$f$在$(0,+\mathrm{\infty })$中可导，若$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(f(x)+f^{\prime }(x))=0$，则$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{\prime }(x)=0$

(D)

设$f$在$(0,+\mathrm{\infty })$中可导，若$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$，则$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{\prime }(x)=0$

例 6.1.25 (第25题) 设$f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$为两个实函数，下列说法不正确的是 ____。

(A)

若$f$在$\mathbb{R}$上可导，且$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$都有$f^{\prime }(x)\ne 0$，则$f^{\prime }(x)$在$\mathbb{R}$上不变号

(B)

若$f$在$x=0$处可导且$f^{\prime }(0)>0$则存在$\delta >0$使得$f$在区间$(-\delta ,\delta )$中单调递增

(C)

若$f$在$x=0$处连续，且$g^{\prime }(0)=g(0)=0$，则$f(x)g(x)$在$x=0$处可导且导数为0

(D)

若$f,g$在$\mathbb{R}$上可导，且$f(0)=0$、$g(0)=3$、$f(1)=\ln 3$、$g(1)=1$，则存在$a\in (0,1)$使得$f^{\prime }(a)g(a)+g^{\prime }(a)=0$