4.4 讲义习题

4.4.1 微分中值定理

解 (1) ${\mathrm{e}}^{\lambda x}$是该微分方程的解等价于$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\mathrm{e}}^{\lambda x}(a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0)=0\end{array}$$ 由于${\mathrm{e}}^{\lambda x}>0$，故上式等价于$$\begin{array}{}\text{(5)}& a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0=0\end{array}$$

(2) 设$a_n=1$，$y(x)=C(x){\mathrm{e}}^{\lambda x}$是微分方程的解等价于$$\begin{array}{}\text{(6)}& f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{y}^{(i)}=\sum _{i=0}^n{a}_i\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})C^{(j)}(x){\lambda }^{i-j}{\mathrm{e}}^{\lambda x}={\mathrm{e}}^{\lambda x}\sum _{j=0}^n{C}^{(j)}(x)\sum _{i=j}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})a_i{\lambda }^{i-j}=0\end{array}$$ 由于${\mathrm{e}}^{\lambda x}>0$，故上式等价于$$\begin{array}{}\text{(7)}& \sum _{j=0}^n{C}^{(j)}(x)\sum _{i=j}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})a_i{\lambda }^{i-j}=0\end{array}$$ 注意到当$j=0$时，有$$\begin{array}{}\text{(8)}& \sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{0})a_i{\lambda }^i=a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0=0\end{array}$$ 因此$C^{\prime }$需满足以下$n-1$阶常系数线性常微分方程的解$$\begin{array}{}\text{(9)}& \sum _{j=1}^n(C^{\prime }{)}^{(j-1)}(x)\sum _{i=j}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})a_i{\lambda }^{i-j}=0\end{array}$$

(3) 考虑函数$f(x):=y(x){\mathrm{e}}^{-\lambda x}$，其中$y(x)$为微分方程的解，代入验证可得$$\begin{array}{}\text{(10)}& f^{\prime }(x)=y^{\prime }(x){\mathrm{e}}^{-\lambda x}-\lambda y(x){\mathrm{e}}^{-\lambda x}=[y^{\prime }(x)-\lambda y(x)]{\mathrm{e}}^{-\lambda x}=0\end{array}$$ 由Lagrange中值定理可得$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$，均$\mathrm{\exists }\xi \in \mathbb{R}$位于$0,x$之间使得$$\begin{array}{}\text{(11)}& \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime }(\xi )=0\end{array}$$ 故$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$均有$f(x)=f(0)$，即$f(x)\equiv C$。因此$y(x)=C{\mathrm{e}}^{\lambda x}$。

(4) 该微分方程的特征方程为${\lambda }^2-3\lambda +2=0$，解得对应的特征值为${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2$。考虑函数$f(x):=y(x){\mathrm{e}}^{-x}$，其中$y(x)$为微分方程的解，代入验证可得$$\begin{array}{}\text{(12)}& \begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =[y^{\prime }(x)-y(x)]{\mathrm{e}}^{-x}\\ f^{″}(x)& =[y^{″}(x)-2y^{\prime }(x)+y(x)]{\mathrm{e}}^{-x}\\ ⟹f^{″}(x)-f^{\prime }(x)& =[y^{″}(x)-3y^{\prime }(x)+2y(x)]{\mathrm{e}}^{-x}=0\end{array}\end{array}$$ 由(3)可知$f^{\prime }$的通解为$f^{\prime }(x)=C_1{\mathrm{e}}^x$。考虑函数$g(x):=f(x)-C_1{\mathrm{e}}^x$，则$g^{\prime }(x)=0$，故$g(x)=C_2=\mathrm{const}$，亦即$$\begin{array}{}\text{(13)}& y(x)=f(x){\mathrm{e}}^x=[g(x)+C_1{\mathrm{e}}^x]{\mathrm{e}}^x=C_1{\mathrm{e}}^{2x}+C_2{\mathrm{e}}^x\end{array}$$ 类似可得当$a^2-4b>0$时，$y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$的所有解为$$\begin{array}{}\text{(14)}& y(x)=C_1{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x},{\lambda }_{1,2}=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2}\end{array}$$

(5) 该微分方程的特征方程为${\lambda }^2-2a\lambda +a^2=0$，解得对应的特征值为${\lambda }_1={\lambda }_2=a$。考虑函数$f(x):=y(x){\mathrm{e}}^{-ax}$，其中$y(x)$为微分方程的解，代入验证可得$$\begin{array}{}\text{(15)}& f^{″}(x)=[y^{″}(x)-2a{y}^{\prime }(x)+a^{2}y(x)]{\mathrm{e}}^{-ax}=0\end{array}$$ 故$f^{\prime }(x)\equiv f^{\prime }(0)$。考虑函数$g(x):=f(x)-f^{\prime }(0)x$，则$g^{\prime }(x)=0$，故$g(x)\equiv g(0)=f(0)$。因此$$\begin{array}{}\text{(16)}& y(x)=f(x){\mathrm{e}}^{ax}=[f(0)+f^{\prime }(0)x]{\mathrm{e}}^{ax}=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{ax}\end{array}$$ $◻$

4.4.2 函数的单调性与极值

解 原题等价于$$\begin{array}{}\text{(17)}& a^b⋚b^a⟺\frac{\ln a}{a}⋚\frac{\ln b}{b}\end{array}$$ 考虑函数$f(x):=\frac{\ln x}{x}$，则$f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$，故$f(x)$在$(0,\mathrm{e})$上严格减，在$(\mathrm{e},+\mathrm{\infty })$上严格增。因此：

• 当$0<a<b\le \mathrm{e}$时，$f(a)>f(b)$，故$a^b>b^a$；
• 当$\mathrm{e}\le a<b$时，$f(a)<f(b)$，故$a^b<b^a$。
• 当$0<a<\mathrm{e}<b$时，$a^b$与$b^a$的大小关系不确定，取决于$f(a)$与$f(b)$的大小关系。

解 原题等价于$$\begin{array}{}\text{(18)}& \frac{x}{\sin x}⋚\frac{\tan x}{x}⟺\cos x⋚\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}\end{array}$$ 注意到$$\begin{array}{}\text{(19)}& \cos x=1-2{\sin }^2\frac{x}{2}<1-2{(\frac{x}{2}-\frac{x^3}{48})}^2<{(1-\frac{x^2}{6})}^2<\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}\end{array}$$ 其中用到了$$\begin{array}{}\text{(20)}& \sin x>x-\frac{x^3}{6}>0,\mathrm{\forall }x\in (0,2)\end{array}$$ $◻$

解 设人群的总个体数为$n$，患病个体的比例为$p$，每组的人数为$x\ll n$。我们对模型作适当简化：假设检验的误检率为$0$。

(1) 若对每个个体依次检验，则所需的检验数为$n$；若采用混合抽样，则组数近似为$\frac{n}{x}$、混合检验结果为阳性的概率为$1-(1-p{)}^x$，故所需检验数的期望$f(x)$近似为$$\begin{array}{}\text{(21)}& f(x)=\frac{n}{x}[1+x(1-(1-p{)}^x)]=\frac{n}{x}+n(1-(1-p{)}^x)\end{array}$$ 视$f$为关于$x$的连续函数，则有$$\begin{array}{}\text{(22)}& f^{\prime }(x)=-\frac{n}{x^2}-n\ln (1-p)(1-p{)}^x=-\frac{n}{x^2}[1+x^2(1-p{)}^x\ln (1-p)]\end{array}$$ 当$x>0$时，显然$1+x^2(1-p{)}^x\ln (1-p)$严格增，故$\mathrm{\exists }\xi \in (0,+\mathrm{\infty })$满足$f^{\prime }(\xi )=0$，此时$$\begin{array}{}\text{(23)}& \frac{f(x)}{n}\ge \frac{f(\xi )}{n}=\frac{1}{\xi }+1-(1-p{)}^{\xi }=1+\frac{1+\xi \ln (1-p)}{{\xi }^2\ln (1-p)}\end{array}$$ 注意到$$\begin{array}{}\text{(24)}& f^{\prime }(-\frac{1}{\ln (1-p)})=-n{\ln }^2(1-p)[1+\frac{{\mathrm{e}}^{-1}}{{\ln }^2(1-p)}]<0\Rightarrow \xi >-\frac{1}{\ln (1-p)}\end{array}$$ 因此$f(\xi )<1$，即选择合适的分组人数可以提高检验效率。

(2) 如上所述，分组人数的最佳值$\xi$应当满足$$\begin{array}{}\text{(25)}& {\xi }^2(1-p{)}^{\xi }\ln (1-p)=-1\end{array}$$ 其正数解可以表示为$$\begin{array}{}\text{(26)}& \xi =\frac{2}{\ln (1-p)}W(-\frac{\sqrt{-\ln (1-p)}}{2})\end{array}$$ 其中$W$为Lambert W函数，为$y=x{\mathrm{e}}^x$在$[-1,+\mathrm{\infty })$上的反函数。注意到$$\begin{array}{}\text{(27)}& x{\mathrm{e}}^x=x+x^2+o(x^2)\Rightarrow W(x)=x-x^2+o(x^2)\end{array}$$ 因此$\xi$在$p\to 0^{+}$的级数展开为$$\begin{array}{}\text{(28)}& \begin{array}{rl}\xi (p)& =\frac{2}{-p+o(p)}[-\frac{\sqrt{p+o(p^{3/2})}}{2}-\frac{p+o(p)}{4}+o(p)]\\ & =\frac{1}{\sqrt{p}}(1+o(1){)}^{-1}[(1+o(\sqrt{p}){)}^{\frac{1}{2}}+\frac{\sqrt{p}}{2}+o(\sqrt{p})]=\frac{1}{\sqrt{p}}+\frac{1}{2}+o(1)\end{array}\end{array}$$ 故当患病人群比例$p$足够小时，可取每组的人数为最接近$\frac{1}{\sqrt{p}}+\frac{1}{2}$的整数。 $◻$