12.2 *扩展阅读：齐次化原理

虽然我们可以直接从$W{\mathit{c}}^{\prime }=(0,\cdots ,0,f{)}^{\mathrm{T}}$出发证明齐次化原理，但这未免有些“空中楼阁”。我们尝试从更基础的角度来理解它的动机。方便起见，我们以$t$为自变量，初始条件均在$t=0$处给出。

12.2.1 线性算子的叠加原理

设$\mathcal{L}$为线性微分算子，则对于任意函数$y_1,y_2$和常数$c_1,c_2$，都有$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathcal{L}(c_1{y}_1+c_2{y}_2)=c_1\mathcal{L}(y_1)+c_2\mathcal{L}(y_2)\end{array}$$ 以上性质称为线性微分算子的叠加原理，可以很轻松地推广至下面的形式$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathcal{L}\left(\sum _{i=1}^m{c}_i{y}_i\right)=\sum _{i=1}^m{c}_i\mathcal{L}(y_i)\end{array}$$ 称为有限叠加原理。

我们不妨大胆一些，将叠加原理推广至（可数）无限个函数的形式，采用指标集$i\in {\mathbb{N}}^{\ast }$、下标$c_i,y_i$与级数求和表述，即$$\begin{array}{}\text{(3)}& \mathcal{L}\left(\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}{c}_i{y}_i\right)\simeq \sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}{c}_i\mathcal{L}(y_i)\end{array}$$ 称为级数叠加原理。需要注意的是，这里等号前后的式子并不总是严格相等的，因为无穷级数的收敛性问题会带来一些麻烦，所以我们用“$\simeq$”来表示“在适当条件下相等”。此外，我们实际上并不关心级数的收敛性，只需要从形式上理解齐次化原理的动机，思考“认同级数叠加原理”会带来什么结果。

既然如此，我们不妨更大胆一些，将叠加原理推广至（不可数）无限个函数的形式，采用指标集$\tau \in I$、函数值$c(\tau ),y(\cdot ,\tau )$与积分表述，即$$\begin{array}{}\text{(4)}& \mathcal{L}({\int }_{I}c(\tau )y(t,\tau )\mathrm{d}\tau )=\mathcal{L}(\underset{\mathrm{\Delta }\tau \to 0}{lim}\sum _{i}c({\tau }_i)y(t,{\tau }_i)\mathrm{\Delta }\tau )\simeq \underset{\mathrm{\Delta }\tau \to 0}{lim}\sum _{i}c({\tau }_i)\mathcal{L}(y(t,{\tau }_i))\mathrm{\Delta }\tau ={\int }_{I}c(\tau )\mathcal{L}(y(t,\tau ))\mathrm{d}\tau \end{array}$$ 称为积分叠加原理。

12.2.2 非齐次项的叠加原理

从线性微分算子的叠加原理出发，我们很容易地得到非齐次项的叠加原理：设$\mathcal{L}$为线性微分算子，对于非齐次方程$\mathcal{L}y=f$，我们有

• 有限叠加原理：若$f=\sum _{i=1}^m{c}_i{f}_i$，且$y_i$是方程$\mathcal{L}y=f_i$的一个特解，则$y=\sum _{i=1}^m{c}_i{y}_i$是方程$\mathcal{L}y=f$的一个特解。
• 级数叠加原理：若$f=\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}{c}_i{f}_i$，且$y_i$是方程$\mathcal{L}y=f_i$的一个特解，则在适当条件下$y=\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}{c}_i{y}_i$是方程$\mathcal{L}y=f$的一个特解。
• 积分叠加原理：若$f(t)={\int }_{I}c(\tau )f(t,\tau )\mathrm{d}\tau$，且$y(t,\tau )$是方程$\mathcal{L}y=f(t,\tau )$的一个特解，则在适当条件下$y(t)={\int }_{I}c(\tau )y(t,\tau )\mathrm{d}\tau$是方程$\mathcal{L}y=f$的一个特解。

需要注意的是，对于非齐次方程$\mathcal{L}y=f$，若其需满足初始条件，则上述叠加原理仅适用于所有初始条件均齐次（即$y^{(k)}(0)=0$，$k=0,1,\cdots ,n-1$）的情况。

12.2.3 瞬时冲击与Green函数

我们从动态系统的角度去理解微分方程。设$y$是用于描述随时间演化的动态系统的状态变量（如位置、温度、电压、产量等），其初始状态由$n$个初始条件决定。系统的演化规律由$n$阶线性微分方程$\mathcal{L}y=f$描述，其中$f$是外部输入（如作用力、热源、电动势、原材料投入等）。系统的响应$y(t)$取决于初始状态、演化规律$\mathcal{L}$和外部输入$f(t)$。

设系统的所有初始条件均齐次，我们可以将外部输入$f$视作无数个${\tau }_i$时刻的“瞬时冲击”的叠加，即$$\begin{array}{}\text{(5)}& f(t)\simeq \underset{\mathrm{\Delta }\tau \to 0}{lim}\sum _{i}f({\tau }_i)\cdot \delta (t-{\tau }_i,\mathrm{\Delta }\tau )\cdot \mathrm{\Delta }\tau \end{array}$$ 其中$$\begin{array}{}\text{(6)}& \delta (t,\mathrm{\Delta }\tau )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\mathrm{\Delta }\tau },& t\in (-\frac{\mathrm{\Delta }\tau }{2},\frac{\mathrm{\Delta }\tau }{2})\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}\end{array}$$ 亦即$\delta (t-{\tau }_i,\mathrm{\Delta }\tau )$是以${\tau }_i$为中心、宽度为$\mathrm{\Delta }\tau$、面积为$1$的矩形脉冲函数。设$G(t,{\tau }_i,\mathrm{\Delta }\tau )$是系统受到该脉冲的响应，亦即$$\begin{array}{}\text{(7)}& \mathcal{L}G(t,{\tau }_i,\mathrm{\Delta }\tau )=\delta (t-{\tau }_i,\mathrm{\Delta }\tau )\end{array}$$ 利用叠加原理，我们可以将系统的响应$y(t)$视作无数个“瞬时冲击响应”的叠加，即$$\begin{array}{}\text{(8)}& y(t)\simeq \underset{\mathrm{\Delta }\tau \to 0}{lim}\sum _{i}f({\tau }_i)\cdot G(t,{\tau }_i,\mathrm{\Delta }\tau )\cdot \mathrm{\Delta }\tau \end{array}$$ 整个过程如图12.2.1所示。

(a) 将非齐次项视作矩形脉冲之和

(b) 每个矩形脉冲的响应

(c) 冲击响应逐步叠加，并与精确解对比

我们形式地令$\mathrm{\Delta }t\to 0^{+}$，由此得到神奇的Dirac-$\delta$函数，其满足$$\begin{array}{}\text{(9)}& \delta (t)=\{\begin{array}{ll}+\mathrm{\infty },& t=0\\ 0,& t\ne 0\end{array}\wedge {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t)\mathrm{d}t={\int }_{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (t)\mathrm{d}t=1,\mathrm{\forall }\epsilon >0\end{array}$$ 则外部输入可表示为$$\begin{array}{}\text{(10)}& f(t)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(\tau )\delta (t-\tau )\mathrm{d}\tau =(f\ast \delta )(t)\end{array}$$ 其中“$\ast$”表示卷积运算。由积分叠加原理可知，若$G(t,\tau )$是方程$\mathcal{L}y=\delta (t-\tau )$的一个特解，则在适当条件下$$\begin{array}{}\text{(11)}& y(t)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(\tau )G(t,\tau )\mathrm{d}\tau \end{array}$$ 这里的$G(t,\tau )$称为方程$\mathcal{L}y=f$的Green函数，它描述了系统在$t=\tau$时刻受到单位冲击时的响应。

12.2.4 基本解方法：求解Green函数

那么，如何求解Green函数呢？容易发现，Green函数应当满足以下性质：

• 方程的解：对于$t\ne \tau$，$G(t,\tau )$满足齐次方程$\mathcal{L}y=0$，且在$t=\tau$附近应当满足$$\begin{array}{}\text{(12)}& {\int }_{\tau -\epsilon }^{\tau +\epsilon }\mathcal{L}G(t,\tau )\mathrm{d}t={\int }_{\tau -\epsilon }^{\tau +\epsilon }\delta (t-\tau )\mathrm{d}t=1,\mathrm{\forall }\epsilon >0\end{array}$$
• 连续性：当$t\ne \tau$时，$G$应当至少具有$n$阶连续导数。
• 因果性：系统在$t<\tau$时刻受到$t=\tau$的冲击时，不会产生响应，故$G(t,\tau )=0(\mathrm{\forall }t<\tau )$。

具体而言，设$\mathcal{L}$为$n$阶线性微分算子，其可表示为$$\begin{array}{}\text{(13)}& \mathcal{L}=\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{t}^n}+a_{n-1}(t)\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}}{\mathrm{d}{t}^{n-1}}+\cdots +a_1(t)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}+a_0(t)\end{array}$$ 其中$a_0,a_1,\cdots ,a_{n-1}$在$t=\tau$处连续，代入积分表达式中可得$$\begin{array}{}\text{(14)}& \begin{array}{rl}{\int }_{\tau -\epsilon }^{\tau +\epsilon }\mathcal{L}G(t,\tau )\mathrm{d}t& ={\int }_{\tau -\epsilon }^{\tau +\epsilon }[G^{(n)}(t,\tau )+\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i(t)G^{(i)}(t,\tau )]\mathrm{d}t\\ & =G^{(n-1)}(\tau +\epsilon ,\tau )-G^{(n-1)}(\tau -\epsilon ,\tau )+\sum _{i=0}^{n-1}{\int }_{\tau -\epsilon }^{\tau +\epsilon }{a}_i(t)G^{(i)}(t,\tau )\mathrm{d}t\\ & =G^{(n-1)}(\tau +\epsilon ,\tau )-G^{(n-1)}(\tau -\epsilon ,\tau )+\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i({\tau }_i){\int }_{\tau -\epsilon }^{\tau +\epsilon }{G}^{(i)}(t,\tau )\mathrm{d}t\\ & =G^{(n-1)}(\tau +\epsilon ,\tau )-G^{(n-1)}(\tau -\epsilon ,\tau )+\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i({\tau }_i)[G^{(i-1)}(\tau +\epsilon ,\tau )-G^{(i-1)}(\tau -\epsilon ,\tau )]\end{array}\end{array}$$ 其中${\tau }_i\in [\tau -\epsilon ,\tau +\epsilon ]$、$G^{(-1)}(t,\tau ):={\int }_0^{t}G(s,\tau )\mathrm{d}s$。结合$G(t,\tau )=0(\mathrm{\forall }t<\tau )$可得$$\begin{array}{}\text{(15)}& {\int }_{\tau -\epsilon }^{\tau +\epsilon }\mathcal{L}G(t,\tau )\mathrm{d}t=G^{(n-1)}(\tau +\epsilon ,\tau )+\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i({\tau }_i)G^{(i-1)}(\tau +\epsilon ,\tau )\end{array}$$ 令$\epsilon \to 0^{+}$可得$$\begin{array}{}\text{(16)}& G^{(n-1)}({\tau }^{+},\tau )+\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i(\tau )G^{(i-1)}({\tau }^{+},\tau )=1\end{array}$$ 为了尽可能使上式简单，可令$G$在$t=\tau$处的$n-2$阶导数连续，而其$n-1$阶导数在$t=\tau$处有单位跳跃，即$$\begin{array}{}\text{(17)}& \{\begin{array}{l}{G}^{(i)}({\tau }^{+},\tau )=0,0\le i\le n-2\\ G^{(n-1)}({\tau }^{+},\tau )=1\end{array}\end{array}$$

为了求出$t>\tau$时的Green函数，注意到此时$G(\cdot ,\tau )$满足齐次方程$\mathcal{L}y=0$，故可用齐次方程的$n$个线性无关的解$y_1,y_2,\cdots ,y_n$将其表示为$$\begin{array}{}\text{(18)}& G(t,\tau )=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i(\tau )y_i(t),t>\tau \end{array}$$ 其中${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$是待定常数（其只与$t$无关，但仍可与$\tau$有关）。将上式代入连续性条件中，可得关于$\mathit{\lambda }(\tau )=({\lambda }_1(\tau ),{\lambda }_2(\tau ),\cdots ,{\lambda }_n(\tau ){)}^{\mathrm{T}}$的线性方程组：$$\begin{array}{}\text{(19)}& \left(\begin{array}{cccc}{y}_1(\tau )& y_2(\tau )& \cdots & y_n(\tau )\\ y_1^{\prime }(\tau )& y_2^{\prime }(\tau )& \cdots & y_n^{\prime }(\tau )\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ y_1^{(n-1)}(\tau )& y_2^{(n-1)}(\tau )& \cdots & y_n^{(n-1)}(\tau )\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1(\tau )\\ {\lambda }_2(\tau )\\ ⋮\\ {\lambda }_n(\tau )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$ 上式左侧的矩阵即为齐次解的Wronsky矩阵$W[y_1,y_2,\cdots ,y_n](\tau )$。记${\mathit{e}}_n=(0,0,\cdots ,1{)}^{\mathrm{T}}$，则$\mathit{\lambda }$可表示为$$\begin{array}{}\text{(20)}& W(\tau )\mathit{\lambda }(\tau )={\mathit{e}}_n⟹\mathit{\lambda }(\tau )=W(\tau {)}^{-1}{\mathit{e}}_n\end{array}$$ 记$\mathit{y}(t)=(y_1(t),y_2(t),\cdots ,y_n(t){)}^{\mathrm{T}}$，则Green函数可表示为$$\begin{array}{}\text{(21)}& G(t,\tau )=\{\begin{array}{ll}0,& t<\tau \\ ⟨\mathit{y}(t),W(\tau {)}^{-1}{\mathit{e}}_n⟩,& t>\tau \end{array}\end{array}$$

12.2.5 齐次化原理与常数变易法

求解出Green函数后，满足齐次初始条件的非齐次方程$\mathcal{L}y=f$的特解可表示为$$\begin{array}{}\text{(22)}& y(t)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(\tau )G(t,\tau )\mathrm{d}\tau ={\int }_0^t⟨\mathit{y}(t),W(\tau {)}^{-1}{\mathit{e}}_{n}f(\tau )⟩\mathrm{d}\tau =\sum _{i=1}^n{y}_i(t)\underset{c_i(t)}{\underbrace{{\int }_0^t[W(\tau {)}^{-1}{\mathit{e}}_n{]}_{i}f(\tau )}}\mathrm{d}\tau \end{array}$$ 其中$[\cdot {]}_i$表示向量的第$i$个分量。由于$c_i$以积分的形式表达，故可求导得到$$\begin{array}{}\text{(23)}& c_i^{\prime }(t)=[W(t{)}^{-1}{\mathit{e}}_n{]}_{i}f(t)⟹W(t)\left(\begin{array}{c}{c}_1^{\prime }(t)\\ c_2^{\prime }(t)\\ ⋮\\ c_n^{\prime }(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ f(t)\end{array}\right)\end{array}$$ 这正是齐次化原理中用于确定待定函数$c_1,c_2,\cdots ,c_n$的线性方程组。因此，齐次化原理实际上是从积分叠加原理出发，通过求解Green函数而得到的。

如果要求出非齐次方程的通解，则只需将齐次方程的通解加到上述特解上即可，即$$\begin{array}{}\text{(24)}& y(t)=\sum _{i=1}^n{y}_i(t)[C_i+{\int }_0^t[W(\tau {)}^{-1}{\mathit{e}}_n{]}_{i}f(\tau )\mathrm{d}\tau ]\end{array}$$ 其中$C_1,C_2,\cdots ,C_n$为任意常数。