教材习题

1.7 教材习题

例 1.7.1 (刘/闫/章·习题1.1.7) 证明下列命题：

(1): 设 $A$ 为有上界的非空数集，则 $ξ = sup A$ 的充分必要条件是： $ξ$ 为 $A$ 的上界，并且 $\forall ε > 0$ ，存在 $x \in A$ 使得 $x > ξ - ε$ 。
(2): 设 $A$ 为有下界的非空数集，则 $η = inf A$ 的充分必要条件是： $η$ 为 $A$ 的下界，并且 $\forall ε > 0$ ，存在 $x \in A$ 使得 $x < η + ε$ 。

证明 (1) 必要性：设 $ξ = sup A$ ，则 $ξ$ 为 $A$ 的上界。 $\forall ε > 0$ ， $ξ - ε$ 不是 $A$ 的上界，故 $\exists x \in A$ 使得 $x > ξ - ε$ 。

充分性：设 $ξ$ 为 $A$ 的上界，并且 $\forall ε > 0$ ，存在 $x \in A$ 使得 $x > ξ - ε$ 。假设 $ξ$ 不是 $A$ 的上确界，则 $\exists ε_{0} > 0$ 使得 $ξ - ε_{0}$ 是 $A$ 的上界，即 $\exists ε_{0} > 0$ 使得 $\forall x \in A$ ，都有 $x \leq ξ - ε_{0}$ ，与题设矛盾。因此 $ξ$ 是 $A$ 的上确界。

(2) 必要性：设 $η = inf A$ ，则 $η$ 为 $A$ 的下界。 $\forall ε > 0$ ， $η + ε$ 不是 $A$ 的下界，故 $\exists x \in A$ 使得 $x < η + ε$ 。

充分性：设 $η$ 为 $A$ 的下界，并且 $\forall ε > 0$ ，存在 $x \in A$ 使得 $x < η + ε$ 。假设 $η$ 不是 $A$ 的下确界，则 $\exists ε_{0} > 0$ 使得 $η + ε_{0}$ 是 $A$ 的下界，即 $\exists ε_{0} > 0$ 使得 $\forall x \in A$ ，都有 $x \geq η + ε_{0}$ ，与题设矛盾。因此 $η$ 是 $A$ 的下确界。 $◻$

例 1.7.2 (刘/闫/章·习题2.4.7) 确定下列无穷小量在 $x \to 0^{+}$ 处的阶，并按照阶的高低排列出来。 $\begin{matrix} (1) & \sin x^{2}, 2 \sqrt{x} + x^{3}, e^{x^{3}} - 1, \sin (\tan x), \ln (1 + x^{2 / 3}), 1 - \cos x^{2}, \sqrt{x} - \sqrt[4]{x} \end{matrix}$

解它们的阶分别为 $\begin{matrix} (2) & x^{2}, x^{1 / 2}, x^{3}, x, x^{2 / 3}, x^{4}, x^{1 / 4} \end{matrix}$ 从高到底排序为 $\begin{matrix} (3) & 1 - \cos x^{2} < e^{x^{3}} - 1 < \sin x^{2} < \ln (1 + x^{2 / 3}) < 2 \sqrt{x} + x^{3} < \sqrt{x} - \sqrt[4]{x} < \sin (\tan x) \end{matrix}$ $◻$

例 1.7.3 (刘/闫/章·习题2.4.8) 将下列无穷大量在 $n \to + \infty$ 处按照阶的高低排列出来。 $\begin{matrix} (4) & n^{2}, e^{n}, \ln (1 + n^{2}), \sqrt{n}, 2^{n}, \sqrt{n^{3} + \sqrt{n}}, n^{n}, n! \end{matrix}$

解从低到高排序为 $\begin{matrix} (5) & \ln (1 + n^{2}) < \sqrt{n} < \sqrt{n^{3} + \sqrt{n}} < n^{2} < 2^{n} < e^{n} < n! < n^{n} \end{matrix}$ $◻$

例 1.7.4 (刘/闫/章·习题2.4.9偶数序号题) 求下列极限：

(1): $lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - 1}{\cos x - 1}$ 。
(2): $lim_{x \to 0} \frac{\arcsin \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\ln (1 - x)}$ 。
(3): $lim_{x \to \infty} x^{2} \ln (\cos \frac{1}{x})$ 。
(4): $lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 - \tan x}}{e^{x} - 1}$ 。
(5): $lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{\cos x}}{\cos \sqrt{x} - 1 + x}$ 。
(6): $lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (1 - \cos \frac{x}{2})}{x^{3} \ln (1 + x)}$ 。
(7): $lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + 2 x} - \sqrt[3]{x^{3} - x^{2}})$ 。

解 (1) $\begin{matrix} (6) & \frac{e^{x^{2}} - 1}{\cos x - 1} = \frac{x^{2} + o (x^{2})}{- \frac{1}{2} x^{2} + o (x^{2})} \to - 2, x \to 0 \end{matrix}$

(2) $\begin{matrix} (7) & \frac{\arcsin \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\ln (1 - x)} = \frac{\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + o (x)}{- x + o (x)} \to - 1, x \to 0 \end{matrix}$

(3) 令 $t = \frac{1}{x} \to 0$ ，则 $\begin{matrix} (8) & LHS = \frac{\ln (\cos t)}{t^{2}} = \frac{\ln (1 - \frac{t^{2}}{2} + o (t^{2}))}{t^{2}} = \frac{- \frac{1}{2} t^{2} + o (t^{2})}{t^{2}} \to - \frac{1}{2}, t \to 0 \end{matrix}$

(4) $\begin{matrix} (9) & \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 - \tan x}}{e^{x} - 1} = \frac{\tan x + o (\tan x)}{x + o (x)} \to 1, x \to 0 \end{matrix}$

(5) $\begin{matrix} (10) & \frac{1 - \sqrt{\cos x}}{\cos \sqrt{x} - 1 + x} = \frac{1 - \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2} + o (x^{2})}}{1 - \frac{x}{2} + o (x) - 1 + x} = \frac{\frac{x^{2}}{4} + o (x^{2})}{\frac{x}{2}} \to 0, x \to 0 \end{matrix}$

(6) $\begin{matrix} (11) & \frac{1 - \cos (1 - \cos \frac{x}{2})}{x^{3} \ln (1 + x)} = \frac{\frac{1}{2} {(1 - \cos \frac{x}{2})}^{2} + o [{(1 - \cos \frac{x}{2})}^{2}]}{x^{4} + o (x^{4})} = \frac{\frac{x^{4}}{128} + o (x^{4})}{x^{4} + o (x^{4})} \to \frac{1}{128}, x \to 0 \end{matrix}$

(7) 令 $t = \frac{1}{x} \to 0^{+}$ ，则 $\begin{matrix} (12) & LHS = \frac{(1 + 2 t)^{1 / 2} - (1 - t)^{1 / 3}}{t} = \frac{t + o (t) + \frac{t}{3} + o (t)}{t} = \frac{4}{3} + o (1), t \to 0 \end{matrix}$ $◻$

例 1.7.5 (刘/闫/章·习题2.4.11) 设当 $x \to 0$ 时， $(1 + α x^{2})^{1 / 3} - 1$ 与 $1 - \cos x$ 是等价无穷小，求常数 $α$ 。

解由于 $\begin{matrix} (13) & \frac{(1 + α x^{2})^{1 / 3} - 1}{1 - \cos x} = \frac{\frac{α}{3} x^{2} + o (x^{2})}{\frac{1}{2} x^{2} + o (x^{2})} \to \frac{2 α}{3}, x \to 0 \end{matrix}$ 故 $α = \frac{3}{2}$ 。 $◻$