证明 令$g(x):=nf(x)-f(x_1)-\cdots -f(x_n)$，则$g\in \mathcal{C}[a,b]$。不妨设$g(x_i)\ne 0$（$\mathrm{\forall }1\le i\le n$），否则取$\xi =x_i$即可。不妨设$g(x_1)>0$，否则可令$f\leftarrow -f$。

假设$g(x_i)>0$（$\mathrm{\forall }1\le i\le n$），则有$$\begin{array}{}\text{(2)}& 0=\sum _{i=1}^{n}g(x_i)>0\end{array}$$ 矛盾！故$\mathrm{\exists }{x}_i\ne x_1$使得$g(x_i)<0$，由介值定理可得$\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]$位于$x_1,x_i$之间使得$g(\xi )=0$，即$$\begin{array}{}\text{(3)}& f(\xi )=\frac{f(x_1)+\cdots +f(x_n)}{n}\end{array}$$ $◻$

证明 令$g(x):=f(x)-f(x+\frac{1}{n})$，则$g\in \mathcal{C}[0,\frac{n-1}{n}]$。不妨设$g(0)\ne 0$，否则取$\xi =0$即可。不妨设$g(0)>0$，否则可令$f\leftarrow -f$。

假设$g(x)>0$（$\mathrm{\forall }x\in [0,\frac{n-1}{n}]$），则$$\begin{array}{}\text{(4)}& 0=f(1)-f(0)=\sum _{i=0}^{n-1}g\left(\frac{i}{n}\right)>0\end{array}$$ 矛盾！故$\mathrm{\exists }x\in (0,\frac{n-1}{n}]$使得$g(x)\le 0$，由介值定理可得$\mathrm{\exists }\xi \in (0,x]\subseteq [0,1]$使得$g(\xi )=0$，即$$\begin{array}{}\text{(5)}& f(\xi )=f(\xi +\frac{1}{n})\end{array}$$ $◻$

证明 由于$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$，故$\mathrm{\exists }M>0$使得$\mathrm{\forall }|x|>M$，$f(x)>f(0)$。由于$f$在$[-M,M]$上连续，故$f$在$[-M,M]$上有最小值，记为$m$，且$\mathrm{\exists }\xi \in [-M,M]$使得$f(\xi )=m\le f(0)$。因此$$\begin{array}{}\text{(6)}& f(x)\left\{\begin{array}{cc}>f(0),& |x|>M\\ \ge m,& |x|\le M\end{array}\right\}\ge m=f(\xi ),\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\end{array}$$ 即$m$就是$f$在$\mathbb{R}$上的最小值。 $◻$

证明 令$g(x):=f(x)-x$，则$g\in \mathcal{C}[a,b]$。不妨设$g(a)\ne 0$，否则取$\xi =a$即可。不妨设$g(a)>0$，否则可令$f(x)\leftarrow -f(-x)$。

假设$g(x)>0$（$\mathrm{\forall }x\in [a,b]$），则$g$在$[a,b]$上有最小值$m$，且$m>0$，此时$$\begin{array}{}\text{(7)}& f(x)\ge x+m\ge a+m⟹[a,a+m)⊊f[a,b]\end{array}$$ 矛盾！故$\mathrm{\exists }x\in [a,b]$使得$g(x)\le 0$，由介值定理可得$\mathrm{\exists }\xi \in [a,x]$使得$g(\xi )=0$，即$$\begin{array}{}\text{(8)}& f(\xi )=\xi \end{array}$$ $◻$

证明 显然$\{x_n\}$单调不减且有上界$b$，故$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\xi$存在。由于$f$在$[a,b]$上连续，故$$\begin{array}{}\text{(9)}& \xi =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n+1}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=f\left(\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_n\right)=f(\xi )\end{array}$$ $◻$