12 高阶微分方程

1 关于平均的极限、Stolz及其应用、指数函数 1.1 课程介绍 1.1.1 自我介绍 1.1.2 怎样学好微积分 1.1.3 工具推荐 1.2 知识点复习 1.2.1 *数、运算与数的扩张 1.2.2 确界 1.2.3 函数的连续性 1.2.4 函数在一点处的极限 1.2.5 单侧极限与间断，单调函数的极限与连续性 1.2.6 无穷远、无穷小与无穷大，数列的极限 1.2.7 大O与小o，函数的主项，阶的比较 1.3 习题课内容 1.3.1 自然数的性质 1.3.2 不等式与基本逻辑 1.3.3 函数极限 1.3.4 数列极限 1.3.5 与平均值有关的极限 1.3.6 Stolz及其应用 1.4 雨课堂作业 1.4.1 确界，连续函数与函数极限 1.5 补充习题 1.5.1 确界 1.5.2 关于乘方、开方、幂指对函数 1.5.3 连续与函数在一点处的极限 1.5.4 函数在无穷远处的极限、数列极限 1.5.5 单调性与极限 1.5.6 无穷大量与无穷小量 1.5.7 极限的综合练习 1.6 讲义习题 1.6.1 自然数集与数学归纳法 1.6.2 实数集 1.6.3 函数的连续性 1.6.4 函数在一点处的极限 1.6.5 单侧极限与间断，单调函数的极限与连续性 1.6.6 无穷远、无穷小与无穷大，数列的极限 1.6.7 大O与小o，函数的主项，阶的比较 1.7 教材习题 2 极限与实数的重要性质 2.1 知识点复习 2.1.1 实数的连续性，迭代与不动点 2.1.2 连续函数的介值性质，反函数的连续性 2.1.3 有界闭集上的连续函数 2.1.4 函数的一致连续性 2.2 习题课内容 2.2.1 Cauchy数列、子列、Heine归结定理 2.2.2 函数的连续性 2.3 雨课堂作业 2.3.1 函数极限（小o） 2.4 补充习题 2.4.1 有界闭区间套 2.4.2 Cauchy准则 2.5 讲义习题 2.5.1 实数的连续性 2.5.2 应用：迭代与不动点 2.5.3 连续函数的介值性质，反函数的连续性 2.5.4 有界闭集上的连续函数 2.5.5 函数的一致连续性 2.6 教材习题 3 导数与高阶导数 3.1 知识点复习 3.1.1 导数与微分的概念，函数的局部线性近似 3.1.2 导数与微分的运算法则 3.1.3 高阶导数 3.1.4 导数与微分的应用 3.2 雨课堂作业 3.2.1 函数连续性 3.2.2 导数 3.2.3 高阶导数 3.3 补充习题 3.3.1 导数与微分 3.3.2 高阶导数 3.4 讲义习题 3.4.1 导数与微分的概念，函数的局部线性近似 3.4.2 导数与微分的运算法则 3.4.3 高阶导数 3.4.4 应用：平面曲线的切线、法线和曲率 3.5 教材习题 4 用导数研究函数 4.1 知识点复习 4.1.1 微分中值定理 4.1.2 函数的单调性与极值 4.1.3 L’Hôpital法则 4.1.4 Taylor公式 4.2 雨课堂作业 4.3 补充习题 4.3.1 基本定理 4.3.2 不定型极限 4.3.3 Taylor展开式（一） 4.3.4 积分因子、微分方程与辅助函数 4.4 讲义习题 4.4.1 微分中值定理 4.4.2 函数的单调性与极值 4.5 教材习题 5 泰勒公式应用、函数凹凸性、曲线的渐近线 5.1 知识点复习 5.1.1 函数的凹凸性 5.2 雨课堂作业 5.3 补充习题 5.3.1 微分中值定理 5.3.2 Taylor展开式（二） 5.3.3 函数的凹凸性 5.3.4 曲线的弯曲性质与渐近线 5.4 期中讲评 6 期中考试评讲 6.1 2025秋《微积分A(1)》期中考试 6.2 2025秋《高等微积分(1)》期中考试 7 不定积分计算 7.1 知识点复习 7.1.1 原函数与不定积分 7.1.2 不定积分的运算性质 7.1.3 有理函数的不定积分以及可转化为有理函数的不定积分 7.2 补充习题 7.2.1 有理函数的不定积分 7.2.2 三角函数的不定积分 7.2.3 无理式的不定积分 7.2.4 换元法和分部积分 7.2.5 杂题 7.3 讲义习题 7.3.1 不定积分的运算性质 7.3.2 有理函数的不定积分以及可转化为有理函数的不定积分 8 定积分的性质与计算 8.1 知识点复习 8.1.1 定积分的概念 8.1.2 定积分的性质 8.1.3 微积分基本定理与Newton-Leibniz公式 8.1.4 积分计算 8.1.5 *一元定积分的数值计算 8.2 雨课堂作业 8.3 补充习题 8.3.1 函数的可积性 8.3.2 定积分的近似计算 8.3.3 定积分计算 8.3.4 有关定积分的证明题 8.4 讲义习题 8.4.1 定积分的概念 8.4.2 积分计算 9 定积分的应用 9.1 知识点复习 9.1.1 平面区域的面积 9.1.2 曲线的弧长 9.1.3 曲线的曲率 9.1.4 空间曲线的挠率 9.1.5 旋转体与旋转面 9.1.6 质心与加权平均 9.2 雨课堂作业 9.3 补充习题 9.4 讲义习题 9.4.1 定积分几何应用与物理应用 10 广义积分 10.1 知识点复习 10.1.1 广义积分的概念 10.1.2 广义积分的收敛性 10.1.3 广义积分的计算 10.2 雨课堂作业 10.3 补充习题 10.3.1 广义积分的概念 10.3.2 广义积分的计算 10.3.3 广义积分的收敛性 10.3.4 杂题 11 常微分方程 11.1 知识点复习 11.1.1 微分方程的基本概念 11.1.2 线性微分方程解的结构 11.1.3 分离变量法 11.1.4 恰当方程与平面向量场的正交曲线族 11.1.5 一阶线性微分方程 11.1.6 可线性化的一阶非线性微分方程 11.1.7 高阶线性方程和线性微分方程组 11.1.8 一阶微分方程和斜率场 11.1.9 利用数值方法验证微分方程的解 11.2 雨课堂作业 11.3 补充习题 11.3.1 一阶微分方程 11.3.2 一阶线性方程 11.3.3 有关一阶微分方程的证明题 12 高阶微分方程 12.1 知识点复习 12.1.1 可降阶的高阶方程 12.1.2 降维 12.1.3 高阶线性微分方程 12.1.4 二阶线性微分方程 12.2 *扩展阅读：齐次化原理 12.2.1 线性算子的叠加原理 12.2.2 非齐次项的叠加原理 12.2.3 瞬时冲击与Green函数 12.2.4 基本解方法：求解Green函数 12.2.5 齐次化原理与常数变易法 12.3 补充习题 12.3.1 可降阶的高阶方程 12.3.2 高阶线性微分方程 12.3.3 有关高阶微分方程的证明题 12.4 讲义习题 12.4.1 线性微分方程 12.4.2 常系数线性微分方程（组）

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Chapter 12
高阶微分方程

2024年12月19日，2024年12月26日；2025年12月31日。本节对应微积分A(1)第13、14次习题课的内容。

5.4 期中讲评

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