知识点复习

8.1 知识点复习

8.1.1 定积分的概念

重要概念回顾

(1): Riemann和：设 $P : a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n - 1} < x_{n} = b$ 为 $[a, b]$ 的一个划分，选定区间的标志点 $ξ_{k} \in I_{k} = [x_{k - 1}, x_{k}]$ ，则 $f$ 在 $[a, b]$ 上的Riemann和为 $\begin{matrix} (1) & S (f, P, ξ) = \sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}) \underset{= Δ x_{k} = | I_{k} |}{\underset{⏟}{(x_{k} - x_{k - 1})}} \end{matrix}$
(2): Riemann可积：设 $f : [a, b] \to R$ ，若 $\exists I \in R$ ，使得 $\forall ε > 0$ ， $\exists δ_{ε} > 0$ ，使得对任意划分 $P$ ， $\begin{matrix} (2) & ∥ P ∥ := max_{1 \leq k \leq n} | x_{k} - x_{k - 1} | < δ_{ε} ⟹ \forall ξ = {ξ_{k} ∣ ξ_{k} \in I_{k}}, | S (f, P, ξ) - I | < ε \end{matrix}$ 则称 $f$ 在 $[a, b]$ 上Riemann可积， $I$ 为 $f$ 在 $[a, b]$ 上的Riemann积分（定积分），记作 $\begin{matrix} (3) & I = \int_{a}^{b} f (x) d x \end{matrix}$
(3): Darboux上下和：设 $f : [a, b] \to R$ 有界，给定划分 $P$ ，定义 $\begin{matrix} (4) & \overset{―}{S} (f, P) = \sum_{k = 1}^{n} sup_{x \in I_{k}} f (x) | I_{k} |, \underset{―}{S} (f, P) = \sum_{k = 1}^{n} inf_{x \in I_{k}} f (x) | I_{k} | \end{matrix}$ 则显然有 $\begin{matrix} (5) & \underset{―}{S} (f, P) \leq S (f, P, ξ) \leq \overset{―}{S} (f, P) \end{matrix}$
(4): Darboux可积：设 $f : [a, b] \to R$ ，若 $\exists I \in R$ ，使得 $\forall ε > 0$ ，存在划分 $P$ ，使得 $\begin{matrix} (6) & I - ε < \underset{―}{S} (f, P) \leq I \leq \overset{―}{S} (f, P) < I + ε ⟺ \overset{―}{S} (f, P) - \underset{―}{S} (f, P) < 2 ε \end{matrix}$ 则称 $f$ 在 $[a, b]$ 上Darboux可积。
(5): 零测集：设 $D \subseteq R$ ，若 $\forall ε > 0$ ， $\exists$ 可数个区间 ${I_{k}}$ ，使得 $\begin{matrix} (7) & D \subseteq ⋃_{k = 1}^{+ \infty} I_{k} \land \sum_{k = 1}^{+ \infty} | I_{k} | < ε \end{matrix}$ 则称 $D$ 为零测集。

重要定理回顾

(1)

以下三个命题等价：

（Riemann） $f$ 在 $[a, b]$ 上Riemann可积；
（Darboux） $f$ 在 $[a, b]$ 上Darboux可积；
（Lebesgue） $f$ 在 $[a, b]$ 上有界，且 $f$ 的间断点集是零测集。

(2)

Riemann可积的振幅表述：记 $ω_{f} (I) := sup_{x, y \in I} | f (x) - f (y) |$ ，则 $f$ 在 $[a, b]$ 上Riemann可积当且仅当 $\forall ε > 0$ ， $\exists [a, b]$ 的划分 $P : a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b$ ，使得 $\begin{matrix} (8) & \sum_{k = 1}^{n} ω_{f} (I_{k}) Δ x_{k} < ε \end{matrix}$

(3)

$[a, b]$ 上的所有连续函数可积， $[a, b]$ 上的所有（分段）单调函数可积。

应用

(1): 由速度计算路程、由密度计算质量、曲边梯形的面积。
(2): Riemann函数Riemann可积性、Dirichlet函数Riemann不可积。

注

(1): Riemann可积的定义不需要对函数值 $f (x)$ 比大小，所以这个定义可以适用于复数值的函数 $f : [a, b] \to C$ ，甚至是向量值的映射 $f : [a, b] \to R^{n}$ （此时需要将绝对值改为 $R^{n}$ 中的范数）。
(2): 用Riemann可积的定义检验一个函数的可积性是不大现实的，因为它需要检验所有划分和所有标志点；但是，如果已知一个函数可积，那么这个定义给出了计算积分近似值的一个方便的办法，可以任取足够细的划分和标志点集来计算Riemann和。

8.1.2 定积分的性质

重要定理回顾

(1): 线性：设 $f, g \in R [a, b]$ ， $λ, μ \in R$ ，则 $λ f + μ g \in R [a, b]$ ，且 $\begin{matrix} (9) & \int_{a}^{b} [λ f (x) + μ g (x)] d x = λ \int_{a}^{b} f (x) d x + μ \int_{a}^{b} g (x) d x \end{matrix}$
(2): 保序性：设 $f, g \in R [a, b]$ ，若 $\forall x \in [a, b]$ 都有 $f (x) \leq g (x)$ ，则 $\begin{matrix} (10) & \int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x \end{matrix}$ 进一步地，若 $f, g$ 均在 $x_{0} \in [a, b]$ 处连续且 $f (x_{0}) < g (x_{0})$ ，则 $\begin{matrix} (11) & \int_{a}^{b} f (x) d x < \int_{a}^{b} g (x) d x \end{matrix}$
(3): 三角不等式：设 $f, g \in R [a, b]$ ，则 $\begin{matrix} (12) & | \int_{a}^{b} f (x) d x | \leq \int_{a}^{b} | f (x) | d x \end{matrix}$
(4): 第一积分中值定理（积分平均值定理）：设 $f \in C [a, b]$ ， $g \in R [a, b]$ 且在 $[a, b]$ 上不变号，则 $\exists ξ \in (a, b)$ ，使得 $\begin{matrix} (13) & \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = f (ξ) \int_{a}^{b} g (x) d x \end{matrix}$ 简证：不妨设 $g (x) \geq 0$ ，则 $\begin{matrix} (14) & m \int_{a}^{b} g (x) d x \leq \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x \leq M \int_{a}^{b} g (x) d x ⟹ m \leq \frac{\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x}{\int_{a}^{b} g (x) d x} \leq M \end{matrix}$ 由介值定理知结论成立。
(5): Cauchy-Schwarz不等式：设 $f, g \in R [a, b]$ ，则 $\begin{matrix} (15) & {(\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x)}^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x \int_{a}^{b} g^{2} (x) d x \end{matrix}$
(6): *第二积分中值定理：设 $f \in R [a, b]$ ， $g$ 在 $[a, b]$ 上单调，则 $\exists ξ \in (a, b)$ ，使得 $\begin{matrix} (16) & \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = g (a) \int_{a}^{ξ} f (x) d x + g (b) \int_{ξ}^{b} f (x) d x \end{matrix}$

注 $\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x$ 定义了函数空间中 $f$ 和 $g$ 的内积，从而可以定义 $f$ 和 $g$ 的正交性。

8.1.3 微积分基本定理与Newton-Leibniz公式

重要概念回顾

(1): 积分的有向性：设 $f \in R [a, b]$ ，定义 $\int_{b}^{a} f (x) d x := - \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

重要定理回顾

(1)

积分区域的可加性：设 $f \in R (I)$ ，则 $\forall a, b, c \in I$ ，都有 $\begin{matrix} (17) & \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x \end{matrix}$ 或者记为 $\begin{matrix} (18) & \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{a} f (x) d x = 0 \end{matrix}$

(2)

微积分基本定理I：设 $f$ 在区间 $I$ 的任何有界闭子区间上可积， $a \in I$ 。记 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ，则

$F : I \to R$ 连续；
若 $f$ 在 $x_{0} \in I$ 处连续，则 $F$ 在 $x_{0}$ 处可微，且 $F^{'} (x_{0}) = f (x_{0})$ 。
若 $f \in C (I)$ ，则 $F \in C^{1} (I)$ ，且 $F^{'} (x) = f (x)$ 。

(3)

在一个区间上，所有连续函数都有原函数。

(4)

微积分基本定理II（Newton-Leibniz公式）：设 $f \in R [a, b]$ ， $F$ 是 $f$ 的一个原函数，则 $\begin{matrix} (19) & \int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) \end{matrix}$

应用

(1)

设 $f$ 在区间 $I$ 上连续， $u, v : [α, β] \to I$ 可导，则 $F (x) := \int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t$ 在 $[α, β]$ 上可导，且 $\begin{matrix} (20) & F^{'} (x) = f (v (x)) v^{'} (x) - f (u (x)) u^{'} (x) \end{matrix}$

(2)

定积分的数值计算：设 $f$ 足够光滑， $F (h) = \int_{a - h / 2}^{a + h / 2} f (x) d x$ ，则以下近似公式的精度为：

矩形公式： $F (h) = h f (a) + O (h^{3})$ ；
梯形公式： $F (h) = h \frac{f (a - \frac{h}{2}) + f (a + \frac{h}{2})}{2} + O (h^{3})$ ；
Simpson公式： $F (h) = h \frac{f (a - \frac{h}{2}) + 4 f (a) + f (a + \frac{h}{2})}{6} + O (h^{5})$ 。

注

(1): 微积分基本定理I针对的问题是：哪些函数会有原函数，以及如何给出一个原函数？答案是：连续函数都有原函数，连续函数的变上限积分给出一个原函数。但是，不是只有连续函数才有原函数，也不是所有函数都有原函数。
(2): 微积分基本定理II针对的问题是：如何计算积分？答案是：如果被积函数有原函数，则定积分计算可以归结为寻找原函数，也就是不定积分。然而，并非每个函数都有原函数；对有原函数的函数，其原函数也未必是初等函数。

8.1.4 积分计算

重要定理回顾

(1): 换元公式：设 $f \in R (I)$ ， $φ \in C^{1} [a, b]$ 满足 $φ [a, b] = [α, β] \subseteq I$ ，则 $\begin{matrix} (21) & \int_{a}^{b} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t = \int_{φ (a)}^{φ (b)} f (x) d x \end{matrix}$ 进一步地，若 $φ$ 是单射，则 $\begin{matrix} (22) & \int_{[a, b]} f (φ (t)) | φ^{'} (t) | d t = \int_{[α, β]} f (x) d x \end{matrix}$
(2): 分部积分：设 $f, g \in C^{1} [a, b]$ ，则 $\begin{matrix} (23) & \int_{a}^{b} f (x) g^{'} (x) d x = {f (x) g (x) |}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x \end{matrix}$

注换元公式不仅为定积分计算提供了一个转化手段，更重要的是它表明定积分不仅可以看成是一个函数在区间上的积分，也可以看成在一维直线上沿一条路径的积分。

8.1.5 *一元定积分的数值计算

数值计算定积分在科学与工程计算中有着重要且广泛的应用。常用的方法可以分为：

插值求积法：用多项式插值近似被积函数，从而将定积分转化为多项式的定积分，常用的插值求积法有：
- Newton-Cotes求积法：等距节点插值求积法，包括矩形公式、梯形公式、Simpson公式等；
- Gauss求积法：最优节点插值求积法，通过选择合适的插值节点，使得代数精度尽可能高。
复合求积法：将积分区间划分为若干子区间，在每个子区间上应用低阶插值求积法，然后将各子区间的结果相加，常用的复合求积法有：复合梯形公式、复合Simpson公式等。
自适应求积法：根据被积函数的性质动态调整子区间的划分，使得在每个子区间上达到预定的误差要求，从而提高计算效率和精度。
Monte-Carlo求积法：基于概率统计的方法，通过随机采样来估计定积分的值，适用于高维积分和复杂区域的积分计算，一般不用于一元定积分。

我们先定义一些重要概念。

定义 8.1.1 (多项式空间) 记 $P_{n}$ 表示所有次数不超过 $n$ 的多项式构成的集合，即 $\begin{matrix} (24) & P_{n} = {P_{n} (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} ∣ a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n} \in R} \end{matrix}$ 它是一个 $n + 1$ 维线性空间，其基为 ${1, x, x^{2}, \dots, x^{n}}$ 。

定义 8.1.2 (代数精度) 设 $I (f) := \int_{a}^{b} f (x) d x$ 为需要计算的定积分， $Q (f)$ 为某一数值积分公式的近似值。若 $\exists n \in N$ ，使得 $\forall P_{n} \in P_{n}$ ，都有 $I (P_{n}) = Q (P_{n})$ ，则称该数值积分公式的代数精度至少为 $n$ 。若 $\exists P_{n + 1} \in P_{n + 1}$ ，使得 $I (P_{n + 1}) \neq Q (P_{n + 1})$ ，则称该数值积分公式的代数精度为 $n$ 。

由于积分具有线性，因此数值积分公式的代数精度实际上只需要检验基 ${1, x, x^{2}, \dots, x^{n}}$ 上的情况，亦即

推论 8.1.3 若存在整数 $n \geq 0$ ，使得 $\forall k = 0, 1, \dots, n$ ，都有 $I (x^{k}) = Q (x^{k})$ ，则该数值积分公式的代数精度至少为 $n$ 。若存在 $k = n + 1$ ，使得 $I (x^{n + 1}) \neq Q (x^{n + 1})$ ，则该数值积分公式的代数精度为 $n$ 。

插值求积法的思路非常直接：我们可以用 $n$ 次多项式近似被积函数（此时需要 $n + 1$ 个插值节点），然后计算该多项式的定积分，从而得到被积函数的定积分的近似值。由于多项式的积分可以精确计算，因此插值求积法的关键在于选择合适的插值节点。

Newton-Cotes求积法选择等距节点。分别用左端点、中点、右端点的函数值来近似被积函数在区间上的积分，得到的数值积分公式分别称为左矩形公式、中点公式和右矩形公式。左右矩形公式的代数精度均为 $0$ ，中点公式的代数精度为 $1$ 。 $\begin{matrix} (25) & \int_{a}^{b} f (x) d x \approx {\begin{cases} (b - a) f (a), & 左矩形公式 \\ (b - a) f (\frac{a + b}{2}), & 中点公式 \\ (b - a) f (b), & 右矩形公式 \end{cases} \end{matrix}$

如果用区间端点的线性插值来近似被积函数在区间上的积分，得到的数值积分公式称为梯形公式，其代数精度为 $1$ 。 $\begin{matrix} (26) & \int_{a}^{b} f (x) d x \approx (b - a) \frac{f (a) + f (b)}{2} \end{matrix}$

如果用区间端点和中点的二次插值来近似被积函数在区间上的积分，得到的数值积分公式称为Simpson公式，其代数精度为 $3$ 。 $\begin{matrix} (27) & \int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{b - a}{6} [f (a) + 4 f (\frac{a + b}{2}) + f (b)] \end{matrix}$

用更高阶的插值多项式来近似被积函数在区间上的积分，可以得到更高代数精度的Newton-Cotes求积公式；然而我们一般不使用 $n \geq 8$ 的Newton-Cotes求积公式，因为：

高阶Newton-Cotes求积公式的插值系数会出现负值，导致数值积分结果不稳定。
可以证明： $n + 1$ 个等距插值节点的代数精度最多只能达到 $n + 1$ ；通过选择最佳插值节点，可以使得代数精度达到 $2 n + 1$ ，称为Gauss求积法。

为了选择最佳插值节点，考虑带权积分 $\begin{matrix} (28) & I (f) = \int_{a}^{b} ρ (x) f (x) d x \end{matrix}$ 其中权函数 $ρ$ 在 $[a, b]$ 上连续、在 $(a, b)$ 内为正。我们的目标是：选择合适的插值节点 ${x_{k}}_{k = 0}^{n}$ 和插值系数 ${A_{k}}_{k = 0}^{n}$ ，使得数值积分公式 $\begin{matrix} (29) & Q_{n} (f) = \sum_{k = 0}^{n} A_{k} f (x_{k}) \end{matrix}$ 具有尽可能高的代数精度，这对应了如下 $2 n + 2$ 个非线性方程组： $\begin{matrix} (30) & Q_{n} (x^{j}) = I (x^{j}), j = 0, 1, \dots, 2 n + 1 \end{matrix}$ 直接求解此方程组非常困难，我们转而考虑以下问题。

设 $ω_{n + 1} (x) = (x - x_{0}) (x - x_{1}) \dots (x - x_{n})$ ，可以证明插值求积公式的截断误差满足 $\begin{matrix} (31) & I (f) - Q_{n} (f) = \frac{1}{(n + 1)!} \int_{a}^{b} ρ (x) f^{(n + 1)} (ξ (x)) ω_{n + 1} (x) d x, ξ (x) \in (a, b) \end{matrix}$ 当 $f \in P_{2 n + 1}$ 时， $f^{(n + 1)} \in P_{n}$ ，因此要使得截断误差为零，只需使得 $ω_{n + 1} (x)$ 与任意不超过 $n$ 次多项式的带权积分正交，即 $\begin{matrix} (32) & \int_{a}^{b} ρ (x) p_{n} (x) ω_{n + 1} (x) d x = 0, \forall p_{n} \in P_{n} \end{matrix}$ 因此，我们只需选择 $ω_{n + 1} (x)$ 为权函数 $ρ$ 对应的正交多项式，即选择 ${x_{k}}_{k = 0}^{n}$ 为该正交多项式的 $n + 1$ 个不同实根，即可得到代数精度为 $2 n + 1$ 的Gauss求积公式。插值系数 ${A_{k}}_{k = 0}^{n}$ 可由下式计算得到： $\begin{matrix} (33) & A_{k} = \int_{a}^{b} ρ (x) \prod_{\begin{matrix} j = 0 \\ j \neq k \end{matrix}}^{n} \frac{x - x_{j}}{x_{k} - x_{j}} d x \end{matrix}$ 或者利用基函数 ${1, x, x^{2}, \dots, x^{n}}$ 的积分精确值和近似值，解线性方程组得到。

可以证明：Gauss求积公式具有最优的代数精度，并且插值系数均为正，因此数值积分结果稳定。

常用的正交多项式有：

Legendre多项式：对应权函数 $ρ (x) = 1$ ，定义在区间 $[- 1, 1]$ 上；
Chebyshev多项式：对应权函数 $ρ (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ ，定义在区间 $[- 1, 1]$ 上；
Laguerre多项式：对应权函数 $ρ (x) = e^{- x}$ ，定义在区间 $[0, + \infty)$ 上；
Hermite多项式：对应权函数 $ρ (x) = e^{- x^{2}}$ ，定义在区间 $(- \infty, + \infty)$ 上。

另一种思路是复合求积法。将积分区间划分为若干子区间，在每个子区间上应用低阶插值求积法，然后将各子区间的结果相加。设 $P : a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b$ 为 $[a, b]$ 的一个等距划分（此时记 $h = \frac{b - a}{n}$ ），则复合梯形公式和复合Simpson公式分别为： $\begin{matrix} (34) & \begin{aligned} \int_{a}^{b} f (x) d x & \approx \sum_{k = 1}^{n} \frac{f (x_{k - 1}) + f (x_{k})}{2} (x_{k} - x_{k - 1}) \\ \approx \sum_{k = 1}^{n} \frac{x_{k} - x_{k - 1}}{6} [f (x_{k - 1}) + 4 f (\frac{x_{k - 1} + x_{k}}{2}) + f (x_{k})] \end{aligned} \end{matrix}$ 可以证明：复合梯形公式的误差为 $O (h^{2})$ ，复合Simpson公式的误差为 $O (h^{4})$ 。