2.1 知识点复习

2.1.1 实数的连续性，迭代与不动点

重要概念回顾

(1)

闭集、闭区间。

(2)

Cauchy数列：$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }N>0$使得$\mathrm{\forall }m,n>N$，$|a_m-a_n|<\epsilon$。

重要定理回顾

(1)

有界闭区间套定理：设一列非空有界闭区间$[a_n,b_n]$构成一个区间套，即$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n]$，则$\bigcap _{n\ge 1}[a_n,b_n]\ne \varnothing$。若进一步$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)=0$，则存在唯一的实数$A$使得$\bigcap _{n\ge 1}[a_n,b_n]=\{A\}$。

(2)

列紧性：任何有界的实数列必含有收敛的子列。

(3)

数列收敛的Cauchy准则：数列$\{x_n{\}}_{n\ge 1}$收敛当且仅当它是一个Cauchy数列。

应用

(1)

Banach压缩不动点定理：设$I$是闭集，$f:I\to \mathbb{R}$满足$f(I)\subseteq I$，且存在常数$0<\lambda <1$使得$\mathrm{\forall }x,y\in I$，$|f(x)-f(y)|\le \lambda |x-y|$（此时称$f$为集合$I$上的一个压缩映射），则存在唯一的$x^{\ast }\in I$使得$f(x^{\ast })=x^{\ast }$（即$x^{\ast }$是$f$的不动点）；并且$\mathrm{\forall }x\in I$，$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{(n)}(x)=x^{\ast }$，其中$f^{(n)}$表示$f$的$n$次迭代。

(2)

考虑$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，$f(x)=\cos x$，$x_n=f^{(n)}(x_0)$，则$\mathrm{\forall }{x}_0\in \mathbb{R}$，$\{x_n\}$收敛于$f(x)$的不动点，即方程$x=\cos x$的唯一实数解。

2.1.2 连续函数的介值性质，反函数的连续性

重要概念回顾 基本初等函数、初等函数。

重要定理回顾

(1)

连续函数的介值性质：设$I\subseteq \mathbb{R}$是区间，$f:I\to \mathbb{R}$连续，则$f(I)=\{f(x)|x\in I\}$也是区间。等价说法是，若$x_1,x_2\in I$，$f(x_1)<f(x_2)$，则$\mathrm{\forall }y\in (f(x_1),f(x_2))$，存在介于$x_1,x_2$之间的$x$使得$f(x)=y$。

(2)

设$I\subseteq \mathbb{R}$是区间，$f:I\to \mathbb{R}$是连续单射，则$f$是严格单调函数，且$f^{-1}:f(I)\to I$是连续函数。

(3)

初等函数都是连续函数。

注 连续函数的介值性质也称连续函数的零点定理。

2.1.3 有界闭集上的连续函数

重要定理回顾

(1)

$I\subseteq \mathbb{R}$是有界闭集当且仅当$I$中任何数列都含有在$I$中收敛的子列。

(2)

设$I\subseteq \mathbb{R}$是非空有界闭集，则$I$有最大值和最小值。

(3)

设$I\subseteq \mathbb{R}$是有界闭集，$f:I\to \mathbb{R}$连续. 则$f(I)=\{f(x)|x\in I\}$是有界闭集。

(4)

设$I\subseteq \mathbb{R}$是有界闭集，$f:I\to \mathbb{R}$连续. 则$f(I)=\{f(x)|x\in I\}$有最大值和最小值。

应用

(1)

$f:(0,1)\to \mathbb{R}$，$f(x)=\frac{1}{x}$是连续函数，但$f$在区间$(0,1)$内没有最大值和最小值。

(2)

$f:[1,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$，$f(x)=\frac{1}{x}$是连续函数，但$f$在闭区间$[1,+\mathrm{\infty })$内没有最大值和最小值。

(3)

函数$$\begin{array}{}\text{(1)}& g(x)=\{\begin{array}{ll}(-1{)}^{p}p,& x=\frac{q}{p},p\in {\mathbb{N}}^{\ast },q\in \mathbb{Z},gcd(p,q)=1\\ 0,& x\notin \mathbb{Q}\end{array}\end{array}$$ 在区间$[0,1]$上既无上界也无下界，从而既没有最大值，也没有最小值。

(4)

代数学基本定理：任何复系数非常值多项式至少有一个复数根。

2.1.4 函数的一致连续性

重要概念回顾 一致连续：称函数$f:I\to \mathbb{R}$在$K\subseteq I$上是一致连续的，若$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }\delta >0$，使得$\mathrm{\forall }x,y\in K$，$|x-y|<\delta ⟹|f(x)-f(y)|<\epsilon$。

重要定理回顾 设$f:I\to \mathbb{R}$连续，$K\subseteq I$是有界闭集. 则$f$在$K$上是一致连续的。

应用

(1)

称函数$f:I\to \mathbb{R}$是一个Lipschitz函数，若$\mathrm{\exists }L>0$，使得$\mathrm{\forall }x,y\in I$，$|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$。Lipschitz函数是一致连续的。

(2)

函数$\sqrt{x}$在$[0,+\mathrm{\infty })$上是一致连续的。

(3)

函数$x^2$在$\mathbb{R}$上不是一致连续的，但在任何有界闭区间上都是一致连续的。

(4)

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sin \sqrt{x^2+1}-\sin x)=0$。