知识点复习

1.2 知识点复习

1.2.1 *数、运算与数的扩张

数的扩张过程可以用图1.2.1来表示。

首先，我们通过数学归纳法原理和后继的概念给出了自然数的定义，同时递归定义了加法和乘法。随后，我们利用加法逆元的概念定义了减法和整数，再利用乘法逆元的概念定义了除法和有理数。至此，我们已构建了一个域，即有理数域，它对四则运算封闭。

我们在有理数域中定义了序，并证明了它的三歧性（定理1.3.5和推论1.3.7），从而给出序域的概念。我们在序域中可以定义绝对值，并给出距离的定义。至此，我们有了度量的手段，为微积分的基本概念——极限作铺垫。

然而，在微积分研究中，仅有有理数域还远远不够。除了老师在课上举的例子以外，我更喜欢下面这种引入方式。在后续的课程中，我们会接触到数列极限的概念，并提出Cauchy收敛准则。这可以算得上微积分中最基本的概念，即：

定理 1.2.1 数列 ${x_{n}}_{n \geq 1} \subseteq R$ 收敛当且仅当它是一个Cauchy点列，即对于任意 $ε > 0$ ，存在 $N \in N$ ，使得对任意 $m, n > N$ ， $| x_{n} - x_{m} | < ε$ 。

Cauchy收敛准则是判断数列收敛的好方法，因为它只需要研究数列本身的变化趋势，无需预先“开上帝视角”知道数列的极限值。然而，Cauchy收敛准则成立的条件是完备性，即任何Cauchy点列都能收敛到原空间。这对空间以及空间的度量提出了要求，你能很轻松地在有理数域中构造出这样的数列来：

例 1.2.2 数列 ${x_{n}}_{n \geq 1}$ ，其中 $x_{n}$ 是 $\sqrt{2}$ 的 $n$ 位十进制近似。显然， ${x_{n}}_{n \geq 1}$ 是一个Cauchy点列，但它在有理数域中没有极限。¹⁰

所以仅仅有有理数域是不够的，我们必须要扩张数域。一种扩张的方法就是利用确界¹¹，定义实数为有理数集合的上确界，并给出了 $R$ 中的确界公理（定理1.4.14），进而说明它的完备性。这一章最重要的结论便是：实数集 $R$ 是唯一一个具有确界性质的序域。

复数最初是在求解一元三次方程的过程中提出的¹²，不是本课程的重点。

最后，我们在提出自然数时，就提出了基本的运算律，即交换律、结合律和分配律。我们在扩张数的同时，还在不断推广四则运算的定义和运算律的适用范围。推广是引入新数学概念的常见思路，读者可在学习中不断体会这一点。

读者可以按以上思路厘清这一章的逻辑，并复习以下知识点：

(1): 自然数集、数学归纳法原理、后继、加法、乘法、结合律、交换律、分配律。
(2): 整数集、减法、加法单位元、加法逆元。
(3): 有理数集、除法、乘法单位元、乘法逆元、序、距离、域。
(4): 实数、实数的序、阿基米德性质。

1.2.2 确界

重要概念回顾有（上、下）界、上（下）界、最大（小）值、上（下）确界。

重要定理回顾确界公理： $R$ 中任何非空有上界的集合都有上确界。

注

(1)

确界公理的一个重要应用是（非空有上界的）集合的上界集合一定有最小值。

(2)

确界有多种等价表述，以集合 $A$ 的上确界 $a$ 为例，如：

$a = min {x \in R ∣ x is the upper bound of A}$ 。
$a$ 是上界；且 $\forall ε > 0$ ， $a - ε$ 都不是 $A$ 的上界，即 $\forall ε > 0$ ， $\exists x \in A$ ，使得 $x > a - ε$ 。
$\forall x > a$ ， $x$ 都是 $A$ 的上界；且 $\forall x < a$ ， $x$ 都不是 $A$ 的上界。

1.2.3 函数的连续性

重要概念回顾

(1): 连续：设 $I \subseteq R$ ，称函数 $f : I \to R$ 在 $a \in I$ 处连续，若 $\forall ε > 0$ ， $\exists δ > 0$ ，使得 $\forall x \in I$ ， $| x - a | < δ ⟹ | f (x) - f (a) | < ε$ 。
(2): 连续函数：称 $f : I \to R$ 是连续函数，若 $f$ 在 $I$ 的每一点处连续。

重要定理回顾

(1): 连续函数的复合：设函数 $f$ 在 $a$ 处连续， $g$ 在 $b = f (a)$ 处连续，则 $g \circ f$ 在 $a$ 处连续。
(2): 连续函数的四则运算：设函数 $f$ 和 $g$ 都在 $a$ 处连续，则 $f \pm g$ 、 $f \cdot g$ 、 $f / g$ （ $g (a) \neq 0$ ）都在 $a$ 处连续。

应用

(1): 绝对值函数 $| x |$ 在 $R$ 上连续。
(2): 基本初等函数（常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）在其定义域内连续。它们的有限次四则运算和复合运算结果仍然连续。

1.2.4 函数在一点处的极限

重要概念回顾

(1): 邻域、去心邻域、聚点、孤立点。
(2): 极限：设 $a \in R$ 是集合 $I$ 的一个聚点，称 $lim_{x \to a} f (x) = A$ ，若 $\exists A \in R$ 使得 $\forall ε > 0$ ， $\exists δ > 0$ ，使得 $\forall x \in I \cap \overset{\circ}{U} (a, δ)$ ， $| f (x) - A | < ε$ 。

重要定理回顾

(1)

极限唯一性：若当 $x$ 趋于 $a$ 时函数 $f : I \to R$ 存在极限，则极限唯一。

(2)

极限与连续的关系：设 $a$ 是 $I$ 的聚点，则

若在 $a$ 的一个去心邻域中 $f (x) = g (x)$ ， $lim_{x \to a} f (x) = A$ ，则 $lim_{x \to a} g (x) = A$ 。
$lim_{x \to a} f (x) = A$ 的充分必要条件是如下定义的函数 $F$ 在 $a$ 处连续： $\begin{matrix} (1) & F (x) = {\begin{cases} f (x), & x \in I ∖ {a}, \\ A, & x = a . \end{cases} \end{matrix}$
$f$ 在 $a$ 处连续当且仅当 $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ 。

(3)

极限的四则运算：设 $lim_{x \to a} f (x) = A$ ， $lim_{x \to a} g (x) = B$ ，则

$lim_{x \to a} [f (x) \pm g (x)]$ 存在，且等于 $A \pm B$ 。
$lim_{x \to a} [f (x) \cdot g (x)]$ 存在，且等于 $A \cdot B$ 。
若 $B \neq 0$ ，则 $lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)}$ 存在，且等于 $\frac{A}{B}$ 。

(4)

复合函数的极限：设 $lim_{x \to a} f (x) = b$ 。

若 $g$ 在点 $b$ 处连续，则 $lim_{x \to a} g (f (x))$ 存在，且等于 $g (b)$ 。
若 $g$ 在点 $b$ 处无定义，且 $lim_{y \to b} g (y) = A$ ，则 $lim_{x \to a} g (f (x))$ 存在，且等于 $A$ 。

(5)

夹挤定理：设函数 $u, v, f$ 都在 $I$ 上定义， $a$ 是 $I$ 的聚点。若在 $a$ 的一个去心邻域中总有 $u (x) \leq f (x) \leq v (x)$ ，且 $lim_{x \to a} u (x) = lim_{x \to a} v (x) = A$ ，则 $lim_{x \to a} f (x)$ 存在，且等于 $A$ 。

(6)

保序性和有界性：设 $lim_{x \to a} f (x) = A$ ， $lim_{x \to a} g (x) = B$ ，则

若 $A < B$ ，则在 $a$ 的某个去心邻域中总成立 $f (x) < g (x)$ 。
$f$ 在 $a$ 的某个去心邻域中有界。
若在 $a$ 的任何去心邻域中总存在 $x$ 使得 $f (x) \leq g (x)$ ，则 $A \leq B$ 。

应用

(1): $lim_{x \to a} x \sin \frac{1}{x} = 0$ 。
(2): 定义Riemann函数为 $\begin{matrix} (2) & R (x) = {\begin{cases} \frac{1}{p}, & x = \frac{q}{p}, p \in N^{*}, q \in Z, gcd (p, q) = 1, \\ 0, & x \notin Q . \end{cases} \end{matrix}$ 则 $\forall a \in R$ ， $lim_{x \to a} R (x) = 0$ 。
(3): $lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - x} = - 1$ 。
(4): 设 $a > 0$ ， $lim_{x \to a} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{a}}{x - a} = \frac{1}{2 \sqrt{a}}$ 。
(5): $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2} / 2} = 1$ 。
(6): 若 $lim_{x \to a} f (x)$ 存在，则 $f$ 在 $a$ 的某个去心邻域中有界。
(7): $lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x}$ 、 $lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 不存在。

注

(1): 极限不关心函数在该点的取值，只关心函数在该点附近（即去心邻域）的取值。
(2): 在有关极限的定理中，我们首先关心的始终是极限是否存在，其次是极限的值。
(3): 在复合函数的极限中，若 $g$ 在点 $b$ 处有定义且存在极限 $A$ ，但 $g (b) \neq A$ ，则 $lim_{x \to a} g (f (x)) = A$ 可能不成立。
(4): 由函数保序性推出极限保序性时，需要特别注意：只能保证不严格不等号成立，即便函数是严格保序的。
(5): $lim_{x \to 0} \frac{\sin (x \sin \frac{1}{x})}{x \sin \frac{1}{x}}$ 是否存在？这取决于极限的定义。在教材（刘/闫/章）中，极限要求函数在去心邻域上有定义，而 $x = 0$ 的任意去心领域内都包含使分母为零的点，此时该极限不存在。而在本堂课中，极限是对聚点定义的，而 $x = 0$ 的任意去心邻域内都包含使分母不为零的点，因此该极限存在且等于 $1$ 。

1.2.5 单侧极限与间断，单调函数的极限与连续性

重要概念回顾

(1)

单侧极限：设 $a \in R$ 是集合 $I$ 的一个聚点，称右极限 $f (a^{+}) = lim_{x \to a^{+}} f (x) = A$ ，若 $\forall ε > 0$ ， $\exists δ > 0$ ，使得 $\forall x \in I \cap (a, a + δ)$ ， $| f (x) - A | < ε$ 。

(2)

单侧连续：称 $f$ 在 $a$ 处右连续，若 $lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)$ 。

(3)

间断点：设 $a \in R$ 是集合 $I$ 的一个聚点，称 $a \in R$ 是函数 $f : I \to R$ 的间断点，若 $f$ 在 $a$ 处无定义或不连续。间断点可分为：

第一类间断点： $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ 和 $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ 都存在，又可细分为：
- 可去间断点： $lim_{x \to a^{-}} f (x) = lim_{x \to a^{+}} f (x)$ ，但 $f$ 在 $a$ 处无定义或 $f (a) \neq lim_{x \to a^{-}} f (x)$ 。
- 跳跃间断点： $lim_{x \to a^{-}} f (x) \neq lim_{x \to a^{+}} f (x)$ 。
第二类间断点： $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ 和 $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ 至少有一个不存在。

重要定理回顾

(1)

对单侧极限，上述（双侧）极限所有的性质（唯一性、四则运算、复合函数、夹挤定理、保序性和有界性）都成立。

(2)

单调有界蕴涵单侧极限存在：设 $f : (a, b) \to R$ 单调不减。

若 $f$ 在 $(a, b)$ 内有上界，则 $lim_{x \to b^{-}} f (x)$ 存在，且等于 $sup_{x \in (a, b)} f (x)$ 。
若 $f$ 在 $(a, b)$ 内有下界，则 $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ 存在，且等于 $inf_{x \in (a, b)} f (x)$ 。

(3)

单调函数的连续性、反函数的连续性：设 $I \subseteq R$ 是区间， $f : I \to R$ 是单调函数，则

$f$ 连续当且仅当 $f (I)$ 是区间。
若 $f$ 是严格单调的连续函数，则 $f^{- 1} : f (I) \to I$ 连续。

应用

(1)

各类间断点的判断。所有有理数点都是Riemann函数的可去间断点，所有实数点都是Dirichlet函数的第二类间断点。

(2)

设 $f : I \to R$ 单调。且 $f$ 在 $x_{0}$ 左右两侧任意近旁有定义，则

单侧极限 $f (x_{0}^{-}), f (x_{0}^{+})$ 存在，且 $f (x_{0}^{-}) \leq f (x_{0}) \leq f (x_{0}^{+})$ 。
若 $f (x_{0}^{-}) < f (x_{0}^{+})$ ，则 $f$ 在 $x_{0}$ 处跳跃间断。
若 $f (x_{0}^{-}) = f (x_{0}^{+})$ ，则 $f$ 在 $x_{0}$ 处连续

(3)

乘方、开方、指数、对数、幂函数的连续性。

1.2.6 无穷远、无穷小与无穷大，数列的极限

重要概念回顾

(1): $\pm \infty$ 作为聚点。
(2): 函数在无穷远处的极限：设 $f : I \to R$ ， $+ \infty$ 是 $I$ 的聚点（ $\forall N > 0$ ， $I \cap [N, + \infty) \neq \emptyset$ ），称 $lim_{x \to + \infty} f (x) = A$ ，若 $\forall ε > 0$ ， $\exists N > 0$ ，使得 $\forall x$ ， $x > N ⟹ | f (x) - A | < ε$ 。 $- \infty, \infty$ 类似。
(3): 无穷小、无穷大、正（负）无穷大。
(4): 数列作为定义在自然数（正整数集）上的函数，无穷小数列、无穷大数列、正（负）无穷大数列。
(5): 邻域、去心邻域、左（右）侧去心邻域、 $\pm \infty$ 的邻域、 $\infty$ 的邻域。
(6): 垂直渐近线、斜渐近线、水平渐近线。

重要定理回顾

(1)

复合函数的极限：设 $lim_{x \to c} f (x) = A$ ， $lim_{y \to A} g (y) = B$ ，其中 $c, A, B \in R \cup {+ \infty, - \infty, \infty}$ 或为某个实数的某一侧，则在下述三个条件之一成立时，都有 $lim_{x \to c} g (f (x)) = B$ ：

$A = + \infty, - \infty, \infty$ 。
$A$ 是实数或实数的某测，且 $f$ 总在 $A$ 的去心邻域中。
$A$ 是实数或实数的某侧，且 $g$ 在 $A$ 处连续。

(2)

Heine定理：

函数 $g$ 在 $y_{0}$ 处连续当且仅当对 $g$ 的定义域中任意满足 $lim_{n \to + \infty} y_{n} = y_{0}$ 的数列 ${y_{n}}$ ，都有 $lim_{n \to + \infty} g (y_{n}) = g (y_{0})$ 。
$lim_{y \to c} g (y) = A$ 当且仅当对满足 $lim_{n \to + \infty} y_{n} = c$ 且 $y_{n} \neq c$ 的任意数列 ${y_{n}}$ ，都有 $lim_{n \to + \infty} g (y_{n}) = A$ 。

(3)

子列：设 $lim_{n \to + \infty} a_{n} = A$ ，则对任意单射 $f : N^{*} \to N^{*}$ ，都有 $lim_{k \to + \infty} a_{f (k)} = A$ 。特别地，当 $f$ 是增函数时，称数列 ${a_{f (k)}}$ 是 ${a_{n}}$ 的子列。

(4)

对极限为实数或 $+ \infty, - \infty$ 的情况，极限的保序性、单调有界收敛的结论也都成立。

应用

(1)

$lim_{x \to c} f (x) = \infty$ 当且仅当 $\forall M > 0$ ，存在 $c$ 的一个去心邻域 $V$ 使得 $f \forall x \in V$ ， $| f (x) | > M$ 。

(2)

设 $α > 0$ ，则 $lim_{x \to + \infty} x^{α} = + \infty$ ， $lim_{x \to 0^{+}} x^{α} = 0$ 。

(3)

设 $a > 1$ ，则 $lim_{x \to - \infty} a^{x} = 0$ ， $lim_{x \to + \infty} a^{x} = + \infty$ 。

(4)

若当 $x \to c$ 时， $f_{1}, f_{2}$ 都是无穷小， $f_{3}$ 有界，则当 $x \to c$ 时， $f_{1} + f_{2}, f_{1} f_{3}$ 也是无穷小。

(5)

设 $lim_{x \to c} f (x) = (\pm) \infty$ 。

若 $g$ 有正下界，则 $lim_{x \to c} f (x) g (x) = (\pm) \infty$ 。
若 $g$ 有界，则 $lim_{x \to c} [f (x) + g (x)] = (\pm) \infty$ 。
若 $lim_{x \to c} f (x) = + \infty$ ，且 $f (x) \leq g (x)$ ，则 $lim_{x \to c} g (x) = + \infty$ 。

(6)

$lim_{n \to + \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = lim_{n \to + \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1} = lim_{n \to + \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} = lim_{x \to + \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e$ 。

(7)

$lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$ ， $lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$ 。

注

(1): 有限多个邻域（去心邻域）的交集仍是邻域（去心邻域）。
(2): 极限的邻域表述： $lim_{x \to c} f (x) = A$ ，即对 $A$ 的任何邻域 $W$ ，存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得 $f (V) \subseteq W$ 。
(3): 连续的邻域表述： $f$ 在 $x_{0}$ 处连续，即对 $f (x_{0})$ 的任何邻域 $W$ ，存在 $x_{0}$ 的邻域 $V$ 使得 $f (V) \subseteq W$ 。

1.2.7 大O与小o，函数的主项，阶的比较

重要概念回顾

(1): 大O：当 $x \to a$ 时，称 $f (x) = O (g (x))$ ，若 $\exists M > 0$ ， $\exists \overset{\circ}{U} (a, δ)$ 使得 $x \in \overset{\circ}{U} (a, δ) ⟹ | f (x) | \leq M | g (x) |$ 。
(2): 小o：当 $x \to a$ 时，称 $f (x) = o (g (x))$ ，若 $\forall ε > 0$ ， $\exists \overset{\circ}{U} (a, δ)$ 使得 $x \in \overset{\circ}{U} (a, δ) ⟹ | f (x) | \leq ε | g (x) |$ 。
(3): 有界量：当 $x \to a$ 时，称函数 $f$ 是有界量（即 $f (x) = O (1)$ ），若 $\exists M > 0$ ， $\exists \overset{\circ}{U} (a, δ)$ 使得 $x \in \overset{\circ}{U} (a, δ) ⟹ | f (x) | \leq M$ 。
(4): 不比～更低阶的无穷小、更高阶的无穷小，不比～更低阶的无穷大、更高阶的无穷大。
(5): 同阶：称 $f$ 与 $g$ 同阶，若 $f (x) = O (g (x))$ 且 $g (x) = O (f (x))$ 。
(6): 等价：称 $f$ 与 $g$ 等价，若 $f (x) = g (x) + o (g (x))$ 。

重要定理回顾

(1)

大O与小o的运算性质：

$f = O (f)$ ；一般 $f \notin o (f)$ ，除非在 $c$ 的某个去心邻域中 $f (x) = 0$ 。
$f = o (g) ⟹ f = O (g)$ ，即 $o (g) \subseteq O (g)$ 。一般 $o (g) \neq O (g)$ ，除非 $g (x) = 0$ 。
$f = O (p) \land g = O (q) ⟹ f g = O (p q)$ 。
$f = O (p) \land g = o (q) ⟹ f g = o (p q)$ 。
$o (h)$ 和 $O (h)$ 都是线性空间，即 $f = O (h) \land g = O (h) ⟹ λ f + μ g = O (h)$ ，对 $o$ 成立类似的结论，其中 $λ, μ \in R$ 。

(2)

当 $x \to a$ 时，若 $f (x) + o (f (x)) = G (x) + o (g (x))$ ， $G (x) = O (g (x))$ ，则 $f (x) = G (x) + o (g (x))$ 。

(3)

推论：当 $x \to a$ 时，若 $f (x) = g (x) + o (g (x))$ ，则 $g (x) = f (x) + o (f (x))$ 。

应用

(1): 当 $x \to 0$ 时， $\sin x = x + o (x)$ ， $\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + o (x^{2})$ ， $\tan x = x + o (x)$ 。
(2): 当 $x \to 0$ 时， $e^{x} = 1 + x + o (x)$ ， $\ln (1 + x) = x + o (x)$ ， $(1 + x)^{r} = 1 + r x + \frac{r (r - 1)}{2!} x^{2} + o (x^{2})$ 。
(3): 设 $0 < α < β$ 。当 $x \to 0^{+}$ 时， $x^{β}$ 是比 $x^{α}$ 更高阶的无穷小；当 $x \to + \infty$ 时， $x^{β}$ 是比 $x^{α}$ 更高阶的无穷大。

注

(1): 算法理论（如数据结构）中还常用 $Ω, Θ$ 符号。
(2): 有些教材用 “ $f (x) \sim g (x)$ ” 来表示 $f$ 与 $g$ 等价，并提出了无穷小等价替换的做法。我们不建议使用这种方法，请大家在计算过程中始终保留 $o$ 记号。

¹⁰此处仅仅是给出一个例子说明有理数域不是完备的，读者不必纠结 $\sqrt{2}$ 的定义问题。

¹¹也可以定义实数为 $Q$ 中Cauchy点列的极限，感兴趣的读者可自行查阅资料。

¹²你可能会很惊讶，不应该是在求解一元二次方程的过程中提出来的吗？其实不然。自Cardano提出（或者说剽窃Tartaglia得到）一元三次方程的求根公式时，人们发现有些显然有三个实根的方程代入求根公式中竟只能得到一个实根，必须假定负数也可以开平方才能求出另外两个。相比之下，二次方程中 $Δ < 0$ 造成的无实根问题真的算是“无伤大雅”。