3 极端相对论条件下白矮星的状态方程

根据经典条件的计算结果$(\text{???})$，白矮星的质量似乎可以任意大；但是注意到白矮星中心电子的Fermi动量为$$\begin{array}{}\text{(1)}& p_{\mathrm{F}}=\hslash k_{\mathrm{F}}=\hslash {\left(\frac{3{\pi }^2}{2m_{\mathrm{p}}}{\rho }_{\mathrm{c}}\right)}^{1/3}\propto R^{-2}\end{array}$$ 当$R$足够小时，一定有$p_{\mathrm{F}}\sim m_{\mathrm{e}}c$（相对论条件）甚至$p_{\mathrm{F}}\gg m_{\mathrm{e}}c$（极端相对论条件），此时相对论效应不可忽略。

我们先定性分析相对论效应对上述结果的影响。当$p\ll m_{\mathrm{e}}c$时，有$\epsilon \propto p^2$；而当$p\gg m_{\mathrm{e}}c$时，有$\epsilon \propto p$；在定性分析时我们认为近似有$\epsilon \propto p^{\gamma }$，指数$\gamma$在经典条件下为$\gamma =2$，随着$p_{\mathrm{F}}$的增加，$\gamma$不断减小至$1$。

因为${\epsilon }_{\mathrm{F}}\propto p_{\mathrm{F}}^{\gamma }\propto n_{\mathrm{e}}^{\gamma /3}\propto V^{-\gamma /3}$、$\mathrm{d}\omega \propto V{p}^2\mathrm{d}p\propto V{\epsilon }^{3/\gamma -1}\mathrm{d}\epsilon$，所以$\mathrm{d}E\propto V\epsilon \mathrm{d}\omega \propto V{\epsilon }^{3/\gamma }\mathrm{d}\epsilon$，即$E\propto V{\epsilon }_{\mathrm{F}}^{3/\gamma +1}\propto V^{-\gamma /3}$，所以$p=-(\partial E/\partial V{)}_N\propto V^{-1-\gamma /3}\propto {\rho }^{1+\gamma /3}$，此时的多方指数为$$\begin{array}{}\text{(2)}& n=\frac{3}{\gamma }\end{array}$$ 所以有$R^2\propto {\alpha }^2\propto {\rho }_{\mathrm{c}}^{1/n-1}\propto {\overline{\rho }}^{\gamma /3-1}$，结合$\overline{\rho }\propto M/R^3$可得$$\begin{array}{}\text{(3)}& M\propto R^{-3(\gamma -1)/(3-\gamma )}\end{array}$$ 当$\gamma \to 1$时，有$M=\mathrm{const}$，也就是说即便白矮星的半径可以任意小，白矮星的质量仍有个上限，这个上限就是Chandrasekhar极限。所以我们可以在极端相对论条件下计算Chandrasekhar极限，此时$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\epsilon }_{\mathrm{F}}=p_{\mathrm{F}}c=\hslash c{k}_{\mathrm{F}}=\hslash c{\left(\frac{3{\pi }^2}{2m_{\mathrm{p}}}\rho \right)}^{1/3}\end{array}$$ 所以$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{rl}\mathrm{d}\omega & =\frac{8\pi V{p}^2}{h^3}\mathrm{d}p=\frac{V{\epsilon }^2}{c^3{\hslash }^3{\pi }^2}\mathrm{d}\epsilon \\ E& ={\int }_0^{p_{\mathrm{F}}}\epsilon \mathrm{d}\omega =\frac{V{\epsilon }_{\mathrm{F}}^4}{4c^3{\hslash }^3{\pi }^2}=\frac{V\hslash c}{4{\pi }^2}{\left(3{\pi }^2\frac{N}{V}\right)}^{4/3}\\ p& =-{\left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)}_N=\frac{\hslash c}{12{\pi }^2}{\left(\frac{3{\pi }^2}{2m_{\mathrm{p}}}\rho \right)}^{4/3}\end{array}\end{array}$$ 此时的多方指数为$n=3$，且$$\begin{array}{}\text{(6)}& K=\frac{\hslash c}{12{\pi }^2}{\left(\frac{3{\pi }^2}{2m_{\mathrm{p}}}\right)}^{4/3}\end{array}$$ 应用Wolfram Mathematica 12.1解得$\theta \sim \xi$曲线如图3所示。

相比于经典条件，极端相对论条件下的白矮星的密度分布更集中。当$\xi ={\xi }_3\approx 6.896849$时$\theta (\xi )=0$，$R=\alpha {\xi }_3$即为白矮星的半径。中心密度与平均密度之比为$$\begin{array}{}\text{(7)}& k_3=\frac{{\rho }_{\mathrm{c}}}{\overline{\rho }}=\frac{1}{3}{\xi }_3^3{[{\int }_0^{{\xi }_3}\theta (\xi {)}^3{\xi }^2\mathrm{d}\xi ]}^{-1}\approx 54.1825\end{array}$$ 白矮星的质量为$$\begin{array}{}\text{(8)}& M=\frac{4}{3}\pi R^3\overline{\rho }=\frac{4\pi }{3k_3}{\rho }_{\mathrm{c}}{R}^3\end{array}$$ 其中${\rho }_{\mathrm{c}}$由下式确定$$\begin{array}{}\text{(9)}& \frac{R^2}{{\xi }_3^2}=\frac{\hslash c{\rho }_{\mathrm{c}}^{-2/3}}{12{\pi }^{3}G}{\left(\frac{3{\pi }^2}{2m_{\mathrm{p}}}\right)}^{4/3}\end{array}$$ 所以$$\begin{array}{}\text{(10)}& {\rho }_{\mathrm{c}}={\left(\frac{\hslash c{\xi }_3^2}{12{\pi }^{3}G}\right)}^{3/2}{\left(\frac{3{\pi }^2}{2m_{\mathrm{p}}}\right)}^2{R}^{-3}\end{array}$$ 故白矮星的质量为$$\begin{array}{}\text{(11)}& M=\frac{4\pi }{3k_3}{\left(\frac{\hslash c{\xi }_3^2}{12{\pi }^{3}G}\right)}^{3/2}{\left(\frac{3{\pi }^2}{2m_{\mathrm{p}}}\right)}^2=\frac{{\xi }_3^3}{3k_3}\frac{\sqrt{3\pi }}{8m_{\mathrm{p}}^2}{\left(\frac{\hslash c}{G}\right)}^{3/2}\end{array}$$ 记$$\begin{array}{}\text{(12)}& {\omega }_n^0:=\frac{{\xi }_n^3}{3k_n}={\int }_0^{{\xi }_n}\theta (\xi {)}^n{\xi }^2\mathrm{d}\xi \end{array}$$ 这里的${\omega }_n^0$表示一种无量纲的质量，称为Lane–Emden系数，计算可得$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\omega }_3^0\approx 2.01824\end{array}$$ 注意到太阳的质量为$$\begin{array}{}\text{(14)}& M_{\odot }\approx 1.989\times {10}^{30}(\mathrm{kg})\end{array}$$ 所以Chandrasekhar极限[1]的值为$$\begin{array}{}\text{(15)}& M={\omega }_3^0\frac{\sqrt{3\pi }}{8m_{\mathrm{p}}^2}{\left(\frac{\hslash c}{G}\right)}^{3/2}\approx 2.854\times {10}^{30}(\mathrm{kg})\approx 1.435M_{\odot }\end{array}$$