2 经典条件下白矮星的状态方程

白矮星(White Dwarf)是一种低光度、高密度、高温度的恒星，是演化到末期的恒星。由于白矮星的密度非常大，内部的压力也非常大，原子已不复存在，电子脱离了原子轨道成为自由电子；且白矮星的内部的电子数密度$n_{\mathrm{e}}$的倒数已与de Broglie波长的三次方可比（即$n_{\mathrm{e}}{\lambda }_{\mathrm{e}}^3\sim 1$或$n_{\mathrm{e}}{\lambda }_{\mathrm{e}}^3\gg 1$），此时白矮星内部的自由电子气处于高度简并态，近似为零温Fermi气体。

我们假设白矮星为电中性的球对称星体，且不与宇宙中的其他星体发生相互作用。白矮星主要由碳核${}_6^{12}\mathrm{C}$组成，它们贡献了最主要的质量（和引力）；再注意到白矮星是电中性的，所以有$$\begin{array}{}\text{(1)}& \rho =n_{\mathrm{e}}(m_{\mathrm{p}}+m_{\mathrm{n}}+m_{\mathrm{e}})\approx 2n_{\mathrm{e}}{m}_{\mathrm{p}}\end{array}$$ 对于零温Fermi气体模型中电子数密度为$n_{\mathrm{e}}$的自由电子气，我们有$$\begin{array}{}\text{(2)}& k_{\mathrm{F}}^3=3{\pi }^2{n}_{\mathrm{e}}=\frac{3{\pi }^2}{2m_{\mathrm{p}}}\rho \end{array}$$ 在经典条件下，有$$\begin{array}{}\text{(3)}& \epsilon =\frac{p^2}{2m_{\mathrm{e}}}\end{array}$$ 所以$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\epsilon }_{\mathrm{F}}=\frac{p_{\mathrm{F}}^2}{2m_{\mathrm{e}}}=\frac{{\hslash }^2}{2m_{\mathrm{e}}}{k}_{\mathrm{F}}^2=\frac{{\hslash }^2}{2m_{\mathrm{e}}}{\left(\frac{3{\pi }^2}{2m_{\mathrm{p}}}\rho \right)}^{2/3}\end{array}$$ 此外，因为白矮星是稳定存在的，电子的简并压与万有引力带来的压力是平衡的。由于现在还不清楚白矮星的密度分布，万有引力带来的压力难以计算，我们考虑计算简并压。自由电子气的态密度函数为$$\begin{array}{}\text{(5)}& \mathrm{d}\omega =\frac{8\pi V{p}^2}{h^3}\mathrm{d}p\end{array}$$ 其中$V$为这部分电子的总体积。所以这部分电子的总数目为$$\begin{array}{}\text{(6)}& N={\int }_0^{p_{\mathrm{F}}}\mathrm{d}\omega ={\int }_0^{p_{\mathrm{F}}}\frac{8\pi V{p}^2}{h^3}\mathrm{d}p=\frac{8\pi V{p}_{\mathrm{F}}^3}{3h^3}\end{array}$$ 电子的总平动动能（贡献简并压）为$$\begin{array}{}\text{(7)}& E={\int }_0^{p_{\mathrm{F}}}\epsilon \mathrm{d}\omega =\frac{4\pi V{p}_{\mathrm{F}}^5}{5m_{\mathrm{e}}{h}^3}=\frac{3}{5}N{\epsilon }_{\mathrm{F}}=\frac{3N}{5}\frac{{\hslash }^2}{2m_{\mathrm{e}}}{\left(3{\pi }^2\frac{N}{V}\right)}^{2/3}\end{array}$$ 所以经典条件下自由电子气的简并压为$$\begin{array}{}\text{(8)}& p=-{\left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)}_N=\frac{2}{5}{n}_{\mathrm{e}}{\epsilon }_{\mathrm{F}}=\frac{{\hslash }^2}{10m_{\mathrm{p}}{m}_{\mathrm{e}}}{\left(\frac{3{\pi }^2}{2m_{\mathrm{p}}}\right)}^{2/3}{\rho }^{5/3}\end{array}$$ 此时多方指数$n=1.5$，且$$\begin{array}{}\text{(9)}& K=\frac{{\hslash }^2}{10m_{\mathrm{p}}{m}_{\mathrm{e}}}{\left(\frac{3{\pi }^2}{2m_{\mathrm{p}}}\right)}^{2/3}\end{array}$$ 应用Wolfram Mathematica 12.1解得$\theta \sim \xi$曲线如图2所示。

当$\xi ={\xi }_{1.5}\approx 3.653742$时$\theta (\xi )=0$，$R=\alpha {\xi }_{1.5}$即为白矮星的半径。中心密度与平均密度之比为$$\begin{array}{}\text{(10)}& k_{1.5}=\frac{{\rho }_{\mathrm{c}}}{\overline{\rho }}=\frac{1}{3}{\xi }_{1.5}^3{[{\int }_0^{{\xi }_{1.5}}\theta (\xi {)}^{1.5}{\xi }^2\mathrm{d}\xi ]}^{-1}\approx 5.99065\end{array}$$ 白矮星的质量为$$\begin{array}{}\text{(11)}& M=\frac{4}{3}\pi R^3\overline{\rho }=\frac{4\pi }{3k_{1.5}}{\rho }_{\mathrm{c}}{R}^3\end{array}$$ 下面确定${\rho }_{\mathrm{c}}$。结合$(\text{???})$、$(\text{9})$可得$$\begin{array}{}\text{(12)}& \frac{R^2}{{\xi }_{1.5}^2}=\frac{{\rho }_{\mathrm{c}}^{-1/3}{\hslash }^2}{16\pi G{m}_{\mathrm{p}}{m}_{\mathrm{e}}}{\left(\frac{3{\pi }^2}{2m_{\mathrm{p}}}\right)}^{2/3}\end{array}$$ 所以$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\rho }_{\mathrm{c}}={\left(\frac{{\xi }_{1.5}^2{\hslash }^2}{16\pi G{m}_{\mathrm{p}}{m}_{\mathrm{e}}}\right)}^3{\left(\frac{3{\pi }^2}{2m_{\mathrm{p}}}\right)}^2{R}^{-6}\end{array}$$ 故白矮星的质量和半径满足关系$$\begin{array}{}\text{(14)}& M{R}^3=\frac{4\pi }{3k_{1.5}}{\left(\frac{{\xi }_{1.5}^2{\hslash }^2}{16\pi G{m}_{\mathrm{p}}{m}_{\mathrm{e}}}\right)}^3{\left(\frac{3{\pi }^2}{2m_{\mathrm{p}}}\right)}^2=1.341\times {10}^{51}(\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^3)\end{array}$$