1 Lane–Emden方程

Lane–Emden方程是描述由满足多方过程的气体构成的球对称星体在自身引力场下的密度分布方程，具有如下形式：[2]$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{1}{{\xi }^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi }\left({\xi }^2\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}\xi }\right)+{\theta }^n=0\end{array}$$ 其中$\xi$为无量纲半径；$\theta$与密度相关，满足$\rho ={\rho }_{\mathrm{c}}{\theta }^n$，其中${\rho }_{\mathrm{c}}$为中心的密度，边界条件为$\theta (0)=1$（归一化条件）和${\theta }^{\prime }(0)=0$（中心的压强为极大值）；$n$为多方指数，不同于多方过程$p{V}^n=\text{const}$中的$n$，在描述星体气体的压强与密度的关系时一般采用下面的方程：[3]$$\begin{array}{}\text{(2)}& p=K{\rho }^{1+1/n}\end{array}$$ 它与$p{V}^{n^{\prime }}=\text{const}$中的多方指数$n^{\prime }$的换算关系为$$\begin{array}{}\text{(3)}& n^{\prime }=1+\frac{1}{n}\end{array}$$ 对于岩石行星，一般认为$n=0$，即行星的密度为定值；对于红巨星、褐矮星、气态巨行星和低质量白矮星（在第2节中会提到，这本质上是经典条件下的星体状态方程），$n=1.5$是一个很好的模型；对于主序星和高质量白矮星的内核（在第3节中会提到，这本质上是极端相对论条件下的星体状态方程），$n=3$是一个很好的模型。

下面我们来推导Lane–Emden方程。取内半径为$r$、外半径为$r+\mathrm{d}r$的一层薄球壳，球壳由于内外压强差会受到一个径向的力¹$$\begin{array}{}\text{(4)}& \mathrm{d}F=\mathrm{d}p\cdot 4\pi r^2\end{array}$$ 方向指向球心。这部分力恰好与引力平衡，所以有$$\begin{array}{}\text{(5)}& \mathrm{d}p\cdot 4\pi r^2+\frac{GM}{r^2}\rho \cdot 4\pi r^2\mathrm{d}r=0\Rightarrow \frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r}=-\frac{GM}{r^2}\end{array}$$ 其中$$\begin{array}{}\text{(6)}& M={\int }_0^r\rho (x)\cdot 4\pi x^2\mathrm{d}x\end{array}$$ 方程两边对$r$求导以约去积分，可得$$\begin{array}{}\text{(7)}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r}\right)=\frac{2GM}{r^3}-\frac{G}{r^2}\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}r}=-\frac{2}{\rho r}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r}-4\pi G\rho \end{array}$$ 注意到$$\begin{array}{}\text{(8)}& r^2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r}\right)+\frac{2r}{\rho }\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{r^2}{\rho }\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r}\right)=-4\pi G{r}^2\rho \end{array}$$ 所以$$\begin{array}{}\text{(9)}& \frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{r^2}{\rho }\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r}\right)=-4\pi G\rho \end{array}$$ 设$\rho ={\rho }_{\mathrm{c}}{\theta }^n$，则$$\begin{array}{}\text{(10)}& \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(K{\rho }_{\mathrm{c}}^{1+1/n}{\theta }^{n+1}\right)=(n+1)K{\rho }_{\mathrm{c}}^{1+1/n}{\theta }^n\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}r}\end{array}$$ 代入方程中可得$$\begin{array}{}\text{(11)}& \frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(r^2(n+1)K{\rho }_{\mathrm{c}}^{1/n}\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}r})=-4\pi G{\rho }_{\mathrm{c}}{\theta }^n\end{array}$$ 设$r=\alpha \xi$，其中$$\begin{array}{}\text{(12)}& {\alpha }^2=\frac{(n+1)K{\rho }_{\mathrm{c}}^{1/n-1}}{4\pi G}\end{array}$$ 则原方程可化简为$$\begin{array}{}\text{(13)}& \frac{1}{{\xi }^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi }\left({\xi }^2\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}\xi }\right)+{\theta }^n=0\end{array}$$ 边界条件为$$\begin{array}{}\text{(14)}& \theta (0)=1\wedge {\theta }^{\prime }(0)=0\end{array}$$ 典型的解的$\theta \sim \xi$曲线如图1所示。